수학의 본능은 생각, 지금까지 몰랐던 수학의 새로운 가능성을 발견하다!
입사 시험, 영재의 발굴, TV 예능과 게임에서도 이제는 수학적 사고력을 말한다. 수학의 진짜 모습 ‘생각’을 발견했기 때문이다. 『수학, 생각의 기술』은 왜곡되었던 수학의 재미를 일깨우는 다양한 생각 실험을 소개한다. 수학적 생각을 검증하고 폭발시킬 130여 개의 생각 실험과 질문, 수학으로 세상을 바꾼 사람들의 이야기를 담았다. 다양하고 방대한 생각 실험과 정답을 향해가는 풀이 과정을 보는 것만으로도 창의력과 논리력 등 수학적 사고력이 자라고 자신도 모르는 사이에 수학에 익숙해진다.
‘뇌섹남?‘ 수학하는 남자들이 뜬다.
생각의 시대, 복잡한 계산으로 치부하던 수학이 뜨고 있다.
기업들은 수학적 사고력을 장착한 인재를 탐색하고, 조직 내에서는 수학에서 창의적인 아이디어의 포인트를 찾는다. 수학의 몸값이 높아진 비결은 바로 ‘생각 창조의 기술’.
수학은 지금 나의 문제를 해결할 결정적 도구이자 미래의 나를 위한 비밀의 무기이다.
이제 차원이 다른 생각의 기술을 원한다면 수학에 몸을 실어라.
수학하라, 지금껏 몰랐던 새로운 가능성을 경험할 것이다!
① 인생에 주어진 문제를 해결하기 위해 수학이 필요하다
· 실리콘밸리의 회사들은 직원을 채용할 때 수학적 사고력을 알아보는 질문을 한다.
· 월 스트리트에서는 수학자 출신 트레이더가 3년간 연봉 1위를 차지했다.
· 삼성의 SSAT 등 국내 대기업의 입사 시험에서는 지원자의 수학적 논리력을 확인한다.
우리의 일상에서 수학은 이미 폭넓게 활용되고 있다. 금융 상품과 소프트웨어를 만들고, 제조공정을 분석하여 원가를 절약하는 등 많은 사람들이 수학을 직접 활용하며 일한다. 그리고 대부분의 사람들은 자신도 모르고 간접적으로 수학을 이용하고 있다.
우리는 인생에서 주어지는 문제를 해결하기 위해 수학을 배운다. 불확실한 상황에서도 수학적 생각을 바탕으로 가능성을 높여가는 것이 정답이 없는 문제를 대하는 가장 현명한 방법이기 때문이다. 그래서 요즘 가장 인기 있다는 실리콘밸리나 월 스트리트의 회사들은 직원을 채용할 때 수학적 사고력을 알아보는 질문을 한다. 그리고 입사 지원자가 답하는 것을 보면서 어떻게 생각을 만들어 가는지 평가한다.
컨설팅이나 소프트웨어 회사의 입사 면접에서 자주 하는 질문들이 있다. 그중 유명한 문제가 “서울에 택시가 몇 대쯤 있을까요?”이다. 입사 면접을 보러 온 사람에게 뜬금없이 이렇게 물으며 논리적이고 합리적이면서도 독창적인 대답을 요구하는 것이다. 이때 간단한 지식과 논리적 추론으로 짧은 시간 안에 근사치를 찾아내는 방식을 페르미 추정Fermi Estimate이라고 한다. 사소한 단서에서 문제의 해답을 추정하는 능력은 복잡성이 늘어난 지금의 경영 환경에서 꼭 필요한 능력이다. 빅 데이터의 등장, 정보가 돈이 되는 요즘 세상에 페르미 추정은 단순한 데이터보다 그것이 갖는 의미를 현명하게 찾아내는 능력의 중요성을 지적한다. (본문 206P)
② 수학의 본능은 생각! 7단계의 수학적 생각 기법을 소개한다
‘수학적으로 생각한다‘는 말에는 생각을 체계적으로 정리해 질서를 잡는다는 의미와 두뇌를 자극해 자유롭게 상상한다는 의미가 모두 포함된다. 수학적 생각은 어떤 현상을 한 단계 위에서 보며 기존의 패턴을 파악하고, 미지의 것을 탐험하며, 새로운 패턴을 찾아 문제를 해결한다. 《수학, 생각의 기술》은 이렇게 생각을 정리하고 새로운 자극을 만드는 것, 자유로운 상상과 직관을 활용해 질서 있게 생각을 만들어가는 과정을 경험하는 수학적 생각 기법을 7단계로 소개한다.
1. 생각을 확인한다Why thinking
2. 개념을 생각한다What thinking
3. 생각을 연결한다Dual thinking
4. 다양한 방향으로 생각한다Indirect thinking
5. 패턴을 생각한다Pattern thinking
6. 한 단계 위에서 생각한다Meta thinking
7. 미지의 것을 생각한다Paradox thinking
첫 번째는 생각을 확인하는 것이다. 다른 사람의 말뿐만 아니라 자신의 생각을 확인하며 오류와 착각을 찾아낸다. 두 번째는 어떤 대상이나 현상에 대해 'what'이라는 질문을 던져 자신만의 정의를 내리는 과정이다. 대상이 무엇인지 확실하게 파악하고, ...때로 다른 모습을 상상하며 더 적합한 새 개념을 창출할 수 있다. 세 번째에서 다섯 번째까지는 생각을 연결하고, 패턴을 찾고, 다양한 방향으로 접근하는 수학적 생각의 활용법들이다. 이런 기술적 활용을 통해 이제껏 없던 방식으로 문제를 해결할 수 있다.
여섯 번째는 한 단계 위에서 전체를 바라보고 조절하는 메타인지의 개념으로 현상을 바라보고 일곱 번째, 기존의 프레임을 벗어나 미지의 생각을 탐험하는 과정이다. 이런 생각의 기술들은 창의력과 상상력을 자극하고 풍성한 생각의 즐거움을 선사한다.
《수학, 생각의 기술》에서 떠나는 7개의 생각 여행이 끝나면 자신도 모르는 사이에 수학적 생각에 익숙해진다. 확인하고, 개념을 만들고, 서로 연결하고, 그 안에서 패턴을 찾아, 방향을 바꾸면 지금까지와는 다른 차원에서의 생각이 가능해지고, 결국 지금까지 없었던 미지의 결론, 즉 새로운 가능성을 발견한다.
사람들은 하늘을 날고 싶어 했다. 사람들은 날개를 위아래로 움직이는 것이 하늘을 나는 규칙이라고 생각했다. 그것이 하늘을 나는 유일한 질서처럼 보였다. 그래서 많은 사람들이 퍼덕이는 날개를 만들어 하늘을 날려고 시도했다. 하지만 실제로 사람이 하늘을 날 수 있었던 것은 날개를 고정하면서였다. 날개를 고정시키는 것은 과거의 시각으로는 하늘을 나는 규칙이 아니었지만 지금은 하늘을 나는 규칙이 되었다. 불규칙이 규칙이 된 것이다. 인류의 역사는 불규칙 속에서 가능성과 기회를 찾으며 발전해왔다. 지금 우리가 경험하는 많은 불규칙과 질서에서 벗어나 있는 것 가운데 미래에 인류의 고민을 풀어줄 열쇠가 있다. (본문 45P)
③ 다양하고 방대한 생각 실험으로 수학적 사고력을 키운다
한동안 미국의 고속도로에 등장했던 광고판이다. 광고판에는 오일러 상수 e에 등장하는 숫자 중 처음 나타나는 10자리 소수를 찾아서 웹 사이트에 접속할 것을 제안한다. 실제로 그 숫자를 찾아 접속하면 구글에서 만든 웹 페이지가 나오고 ‘당신의 구글 입사를 축하합니다’라는 글이 나왔다. 《수학, 생각의 기술》에서는 실리콘밸리, 월 스트리트 기업, 구글 등 해외 기업들의 유명한 입사 문제를 비롯한 다양한 생각 실험과 질문들을 소개했다.
▶ 실리콘밸리, 월스트리트, 국내 대기업의 입사지원 단골 퀴즈
▶ 두뇌를 말랑말랑하게! 논리가 숨어있는 수수께끼
▶ 도형인가 그림인가! 섬세한 계산으로 완성한 예술 작품
▶ 수백 년간 풀리지 않던 퍼즐을 해결한 발상의 전환
▶ 알쏭달쏭 흥미진진한 논리의 모순과 순환, 패러독스
수학이 대단하고 똑똑한 사람에게만 유용한 것처럼 들릴 수 있지만 절대 그렇지 않다. 수학을 이용해 무엇인가를 생산하는 사람도 있지만 수학의 소비자로서 재미있게 즐기는 사람도 많다. 노래를 만드는 가수보다 더 많은 사람들이 소비자로서 노래를 즐기는 것처럼 수학을 소비자로서 즐겨도 충분하다. 그러면서 자신도 모르는 사이에 수학적 생각의 기술을 배우고 익힌다면 더할 나위 없이 좋다. 이 책에서 소개하는 생각 실험은 모두 어려운 문제이다. 이 책을 쓴 나조차 잘 풀지 못한 문제도 많았다. 이 문제들을 도전적으로 풀어보는 것도 좋지만 문제의 해설을 보면서 수학적 생각을 즐기는 것도 좋은 방법이다. (본문 52P)
당신의 수학적 생각을 검증하고 폭발시킬 130여 개의 생각 실험과 질문, 수학으로 세상을 바꾼 사람들의 이야기를 담았다. 다양하고 방대한 생각 실험과 정답을 향해가는 풀이 과정을 보는 것만으로도 창의력과 논리력, 수학적 사고력이 자란다. 치밀함과 파격, 역사와 유머를 넘나드는 수학, 생각의 기술로 이제껏 없던 놀라운 문제 해결 능력을 얻을 수 있다.
* 책속으로 추가
패러독스는 우리의 생각의 폭을 넓혀주고 생각의 깊이를 더 깊게 해준다. 학문 분야에서는 패러독스가 새로운 연구의 지평을 여는 경우가 자주 있다. 패러독스는 직관이나 상식을 벗어나 우리를 깜짝 놀라게 하기도 하며, 때로는 그런 놀라움이 우리에게 재미를 주기도 한다. 우리의 현실은 확실하면서도 불확실하고, 논리적이면서도 비논리적인 것이 엉켜 있다. 모든 것이 합리적이고 세상이 이해할 수 있는 것으로만 채워져 있다면 재미없을 것 같다. 세상은 애매모호하다. 심리학자 로버트 스턴버그Robert Sternberg는 “애매모호함을 참고 견디는 것이 현명함이다”라고 했다. 애매모호함을 외면하기보다는 그 속에서 새로운 지혜를 발견하고 즐겨 보자.-[PART.7 미지의 것을 생각한다] 중에서
PART 0 수학은 생각이다Mathematical thinking
수학은 생각하는 것이다·8
자신의 생각을 확인한다·11
문제를 해결한다·21
두뇌를 자극한다·35
왜 수학을 공부할까·46
수학, 7가지 생각의 기술·53
PART 1 생각을 확인한다Why thinking
당연한 현상에 ‘왜’라고 묻는다·56
확인하는 과정을 거친다·66
모든 것은 질문에서 시작된다·77
질문이 있어야 답이 있다·88
파괴는 새로운 창조를 만든다·95
PART 2 개념을 생각한다What thinking
그림이란 무엇인가·100
수학은 약속이다·103
부분과 전체가 같을 수 있다·110
개념을 발견하고 창조한다·119
비즈니스에서의 창의성을 생각한다·128
‘what’이라는 질문을 던져라·137
창조는 모방에서 시작한다·142
PART 3 생각을 연결한다Dual thinking
수학과 예술을 연결한다·150
언어와 수식을 연결한다·153
그림과 수식을 연결한다·162
그림으로 생각한다·169
좌뇌와 우뇌를 연결한다·180
낯선 것과 연결한다·186
PART 4 다양한 방향으로 생각한다Indirect thinking
간접적 접근으로 문제를 해결한다·196
상대를 통해 나를 안다·202
상대와 나의 상호작용을 생각한다·208
아닌 것을 제거하여 답을 ...찾는다·214
순서를 바꾸어 관점을 전환한다·220
거꾸로 접근한다·227
PART 5 패턴을 생각한다Pattern thinking
패턴을 발견한다·238
전체 속에서 패턴을 찾는다·240
다양한 패턴을 발견한다·249
일상 속에서 패턴을 파악한다·258
패턴을 찾으려면 관찰하라·264
해결의 포인트는 패턴이다·269
PART 6 한 단계 위에서 생각한다Meta thinking
높은 차원에서 생각한다·284
부분을 포함하는 전체를 바라본다·286
한 단계 위에서 관찰한다·294
인생을 한 단계 위에서 본다·302
논리의 함정에서 벗어나다·307
부지런한 생각을 선택한다·317
PART 7 미지의 것을 생각한다Paradox thinking
불가능한 현상은 언제나 가능하다·322
답이 될 수 없는 답, 패러독스·326
명백한 논리적 모순을 설명할 수 없다·340
현실은 계산과 논리를 이긴다·350
이 책에서 다루는 문제는 모두 레크리에이션 수학에 속한다. 이 문제들을 푸는 데에는 앞서 말한 것처럼 수학 지식이 거의 필요하지 않다. 지식보다는 생각의 힘을 발휘해야 한다. 그런 의미에서 우리가 미처 도달하지 못한 생각의 기술, 창의적 사고력을 키우는데 레크리에이션 수학만큼 적합한 도구가 없다. 당신은 이미 이 책에서 소개하는 문제를 풀기에 충분한 지식을 갖고 있다. 이제 생각의 기술이 필요할 뿐이다. 많이 경험하고 연습하면 생각의 기술을 발전시킬 수 있다. -[PART.0 수학은 생각이다] 중에서
우리는 가장 먼저 캔을 왼쪽 그림처럼 규칙적으로 넣는 방법을 떠올린다. 하지만 실제로 캔을 더 많이 넣는 방법은 오른쪽처럼 벌집 모양의 정육각형을 만드는 것이다. 모두 5개씩 통일해 줄을 맞추는 것이 균형과 대칭을 이루어서 좀 더 안정적이고 더 많은 캔을 넣을 수 있을 것 같다. 하지만 그것은 벌집 모양의 ‘육각 채우기’를 경험하지 못한 사람의 한정된 생각일 뿐이다. 이러한 사고의 확장은 단지 박스에 캔 하나를 더 넣고 못 넣고의 문제에 국한되지 않는다. 반도체를 생각해보자. 컴퓨터에 쓰이는 실리콘 칩은 원형의 실리콘 웨이퍼에서 잘라낸다. 원형에서 작은 정사각형 조각들을 잘라내고 남은 웨이퍼는 그냥 버리는데, 이럴 때 같은 웨이퍼에서 정사각형 조각을 어떻게 배치해 자를 것인지에 따라 경제적 손실이 크게 달라진다.-[PART.0 수학은 생각이다] 중에서
네덜란드의 판화가 에셔 Escher의 [도마뱀]이라는 판화 작품이다. 이 작품의 주인공인 도마뱀은 2차원의 평면에서 나와 3차원을 돌아다니다 다시 2차원의 평면으로 들어간다. 작품 속의 스케치북을 보면 서로 다른 도마뱀들이 맞물려서 2차원의 평면을 빈틈없이 덮고 있다. 일정한 모양을 반복해서 평면을 채우기란 쉬운 일이 아니다. 어쩌면 불가능한 일에 가깝다. 이렇게 평면을 똑같은 모양으로 채워나가는 것을 테셀레이션tessellation 이라고 한다. 에셔의 작품에 영감을 받은 영국의 수학자 펜로즈 Penrose는 어떤 모양이어야 평면을 채울 수 있는가에 대한 연구를 진행하기도 했다. 지금은 초등학교 수학 시간에 다각형을 배우며 테셀레이션을 다룬다. -[PART.3 생각을 연결한다] 중에서
다음 마름모를 정확히 3등분해보자.
명문 대학의 학생들에게 이 질문을 던졌을 때 30%의 학생들만 문제를 풀었다고 한다. 나머지 70% 학생들은 1시간이 넘도록 문제에 매달려도 풀지 못한 반면, 문제를 해결한 30% 학생들은 대부분 1초 만에 풀었다고 한다. 그들의 방법은 이랬다. 모든 경우에는 다양한 관점과 시각이 필요하다. 사고의 중심을 전환하며 같은 일에 대해서도 다양한 생각을 해보는 시도는 새롭고 재미있는 사고의 연습이 된다. -[PART.4 다양한 방향으로 생각한다] 중에서
메타인지Meta-cognition라는 개념이 있다. 메타인지란 ‘자신의 인지 활동에 대한 인지’, 즉 자신이 인지하는 것을 한 단계 위에서 바라보며 조절하는 것을 말한다. 내가 어떻게 생각하는지 객관적으로 바라보며 조절하는 능력이다. 학자들은 성공하고 행복한 인생을 만들어가는 데 메타인지 능력이 매우 중요하다고 말한다. 다른 사람들에게 피해를 주면서도 자신만 그 사실을 모르는 사람이 있다. 그런 사람은 가끔 누군가 자신에게 불만을 보이면, 자신은 아무 잘못이 없는데 왜 비난하느냐고 화를 낸다. 또 자신이 아주 잘하고 있다고 생각하기 때문에 변화가 필요하다는 사실을 전혀 이해하지 못한다. 이는 자신을 객관적으로 보지 못하기 때문에 생기는 현상이다. 메타인지 능력은 학습에도 결정적 영향을 준다. 네덜란드 라이덴... 대학교 마르셀 베엔만Marcel Veenman 교수의 연구 결과에 따르면 I.Q가 학교 성적에 25% 정도 영향을 미치는 반면, 메타인지는 학교 성적에 40% 정도 영향을 준다고 한다.-[PART.6 한 단계 위에서 생각한다] 중에서
1958년 영국의 수학자 로저 펜로즈Roger Penrose는 영국 심리학 저널에 ‘불가능한 대상 : 시각적 착시의 특별한 형태’라는 용어를 처음 사용하며 다음과 같은 불가능한 삼각 막대를 사람들 앞에 내놓았다. 이 삼각 막대는 각 부분에서는 틀린 점을 발견할 수 없으나 실제로는 만들 수 없는 불가능한 도형이다. 후에 펜로즈는 다음과 같은 불가능한 계단을 제시했다. 삼각 막대와 계단 모두 뫼비우스의 띠를 연상시킨다. -[PART.7 미지의 것을 생각한다] 중에서
박종하 [저]
박종하창의력연구소 대표. 창의력 컨설턴트. 평소에 직접 요리하는 것보다는 맛있는 음식 먹는 것을 더 좋아한다. 다양한 요리 프로그램과 셰프들의 활약을 보며, 요리야말로 아이디어를 만들어내는 과정과 매우 유사하다는 사실을 알게 됐다. 다양한 재료를 어떻게 손질하고 조리하느냐에 따라 음식의 종류와 맛이 달라지는 것처럼 아이디어도 뉴스와 정보, 갑자기 떠오른 생각들을 어떻게 조리하느냐에 따라 그 쓰임이 달라진다. 흔히 보는 재료들도 얼마든지 훌륭한 요리로 탄생하듯이 일상의 작은 아이디어도 멋진 아이디어로 다시 태어날 수 있음을 믿는다. 삼성전자, LG전자, 포스코, 두산, 하이닉스, LG경제연구원, 신한카드, 미래에셋, 안철수연구소 등 국내 유수의 기업을 대상으로 창의력과 셀프리더십에 대해 강연과 저술 활동을 활발하게 하고 있다. 고려대학교 수학교육과를 졸업하고 한국과학기술원KAIST 수학과에서 이학박사 학위를 받았다. 지은 책으로는 [아프리카에서 온 암소 9마리] [틀을 깨라] 등이 있으며, 역서로는 [창조적 사고의 기술] [생각을 바꾸는 생각] [두뇌력 UP 노트] 등이 있다.
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