19세기까지 선형 대수학은 대수학의 흥미로운 한 분야이자 현재도 활발히 연구되고 있는 불변량 이론을 뒷받침하기 위해 개발되었다. 20세기 초 물리학의 모순적인 실험 결과를 설명하는 과정에서 몇몇 용감한 물리학자들에 의해 선형 대수학이 작은 단위에서의 물리학을 설명하는 최적의 방법임이 제안되었고 20세기의 위대한 수학자 폰 노이만에 의해 양자 역학의 공리들이 체계화되었다. 이후 양자 역학은 컴퓨터 이론과 무관하게 입자 가속기를 통해 쏟아지는 실험 결과를 설명하는 데 반세기를 보냈고 20세기 후반에 와서야 양자 역학으로써 새로운 종류의 컴퓨터를 구현할 가능성에 관해 탐구하기 시작했다. 기존 컴퓨터는 0과 1로 표현되는 비트를 연산의 기본 단위로 한다. 그러나 양자 정보 이론에서는 복소 2차원 벡터 공간의 벡터 즉 큐빗이 연산 기본 단위가 되고 모든 연산은 선형 변환으로 나타난다. 철저히 양자 역학에 입각한다면 고전 역학이 양자 역학의 근사이듯이, 고전 컴퓨팅은 양자 컴퓨팅의 근사에 불과하다고 할 수도 있다.
이 책은 선형 대수학을 토대로 양자 컴퓨팅과 양자 정보 이론을 소개하는 것을 목적으로 저술되었다. 전반부인 제 I 편에서는 선형 대수학의 기본적인 개념과 정리를 개관한 후 부울 대수, 고전 컴퓨팅 이론을 간략히 알아보고 양자 회로와 대표적인 양자 알고리즘을 학습한다. 후반부인 제 II 편에서는 양자 정보 이론에 대한 이해를 심화하기 위해 선형 대수학의 세부적인 부분을 다루고 혼합된 양자 상태와 양자 얽힘, 양자 채널, 측정, 폰 노이만 엔트로피를 포함한 양자 정보 이론의 핵심 주제들을 배운다. 가급적 엄밀한 증명을 제시하고자 노력했으며 섬세한 수학적 재능을 소유한 독자도 만족시키려 고심했다.
수학과 물리학 등 관련 전공자가 양자 정보 이론에 입문하려 할 때 본서가 훌륭한 길잡이 역할을 하리라 기대합니다. 독자는 선형 대수학과 양자 역학의 핵심을 파악한 후 이를 토대로 양자 정보 이론의 바다로 항해하게 됩니다. 친절한 설명, 명료한 정리·정의, 엄밀한 증명 그리고 적재적소에 수록된 예제와 연습문제는 독자의 이해를 확고히 하는 데 주효합니다.
들어가며
제I편 선형 대수학과 양자 계산 이론
제1장 벡터 공간과 선형 변환
1.1. 벡터 공간
1.2. 선형 변환
1.3. 텐서 곱
제2장 힐버트 공간과 양자 역학
2.1. 내적과 직교 사영
2.2. 스펙트럼 분해 정리
2.3. 디랙의 기호들
2.4. 양자 역학의 공리들
제3장 양자 계산
3.1. 부울 함수와 논리 게이트
3.2. 양자 게이트와 양자 회로
3.3. 양자 회로의 응용
제4장 양자 알고리즘
4.1. 도이치-조자 알고리즘
4.2. 번슈타인-바지라니 알고리즘
4.3. 사이먼 알고리즘
4.4. 쇼어 알고리즘
4.5. 그로버 알고리즘
4.6. 계산 복잡도
제II편 선형 대수학과 양자 정보 이론
제5장 선형 작용소
5.1. 작용소의 여러 가지 크기
5.2. 양의 작용소
5.3. 작용소 공간 사이의 선형 변환의 네 가지 표현
5.4. 완전 양의 작용소
제6장 양자 상태와 양자 얽힘
6.1. 양자 상태
6.2. 양자 얽힘
6.3. 충실도
제7장 양자 채널
7.1. 양자 채널
7.2. 항등 보존 양자 채널
7.3. 우세화
제8장 측정
8.1. 측정
8.2. EPR 쌍과 벨 부등식
8.3. 양자적 상관관계
제9장 엔트로피
9.1. 정보량과 엔트로피
9.2. 섀넌 엔트로피
9.3. 고전적 섀넌 이...론
9.4. 폰 노이만 엔트로피
9.5. 양자 섀넌 이론
부록 A 감마 함수
부록 B 스털링 공식
참고문헌
찾아보기
“양자 통신은 양자 상태에 저장된 정보를 송신자에서 수신자까지 전달하는 과정을 의미하며, 양자 상태에 담겨있는 정보는 0 또는 1의 이진 정보일 수도 있고 0과 1이 중첩된 정보일 수도 있다. 특히, 0과 1의 이진 정보를 양자 상태에 실어서 보내는 양자 통신의 경우에 전송되는 이진 정보가 도청되면, 수신자는 도청을 인식하고 상황에 알맞은 대처를 할 수 있다. 이러한 특성을 암호키 전송에 응용한 것이 양자 암호이다. 양자를 이용해서 송신자와 수신자 두 사람만 알고 있는 비밀키를 통신상에서 나누어 가질 수 있는 새로운 방식이며, 양자키 분배 (Quantum Key Distribution) 기술로 불리기도 한다.
양자 암호는 양자 역학의 속성을 이용해 암호화 작업을 수행함으로써 만들어진다. 즉 양자의 중첩상태에 있는 양자를 한 번이라도 관측하게 되면 0과 1의 양쪽 값을 동시에 취하고 있던 상태가 0이나 1, 어느 한쪽으로 결정되는 성질을 이용하는 것이다. 누군가 통신을 도청하면, 그 순간 양자 암호가 반응하여 정보를 저장하고 있는 양자 암호 속의 광자의 양자 상태가 달라져 통신의 내용이 바뀌므로 도청된 사실을 알 수 있는 것이다.
두 사람 동백과 용식이 안전하게 정보를 주고받고 싶다면, 두 사람만 알고 있는 우리가 열쇠라고 부르는 수 p가 있으면 된다. 예를 들어, 동백이 메시지 x를 보내고 싶으면 x+p를 보내고 용식은 p를 빼서 x을 복원할 수 있지만, p를 모르는 사람은 누구도 x+p로부터 x를 알아낼 수 없다. 결국, 어떻게 안전한 방법으로 두 사람만 아는 수 즉 열쇠를 공유할 수 있는가가 암호론의 핵심이고 이를 역으로 찾아내는 것이 해킹의 기술이다.” -110쪽
“잘 알려져 있다시피 아인슈타인의 광전자 효과에 관한 논문은 양자 역학의 토대를 놓은 기념비적인 논문이며, 이 논문에 대한 업적을 인정받아 노벨상까지 받았다. 하지만 후일 아인슈타인은 슈뢰딩거와 함께 양자 역학의 가장 강력한 비판자가 되었는데, 결정론에 대한 강한 신념 때문이었다. 결정론적 이론이 존재하지만 우리의 이해가 부족해서 숨은 변수를 고려하지 않아 확률적 실험 결과가 나오는 것인지, 근본적으로 결정론에 기반한 어떤 이론도 설명할 수 없지만 양자론적 설명이 가능한 현상이 있는지에 대한 수많은 논쟁이 있었다.
이러한 오랜 논쟁을 완전히 해결한 것이 유명한 벨의 실험과 그의 부등식이다. 벨은 양자 역학을 둘러싼 논쟁을 구체적인 실험으로 종식할 방법을 고민하고 있었다. 이를 위해 여러 입자의 쌍 사이의 상관관계를 조사하여 고전적 이론으로 설명할 수 있는 한계를 찾았는데 이것이 벨의 부등식이다.” -234쪽
김영훈 [저]
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