토폴로지적 사고방식을 탐구하다
유클리드 이래 기하의 전통을 지키는 것은 토폴로지(위상기하)다. 학문으로서의 체계를 갖춘 것은 20세기부터니까 토폴로지의 역사는 아직 짧다. 그러나 토폴로지적인 사고방식은 옛날부터 있었고, 사람들은 일상생활 속에서 무의식중에 이 토폴로지적 사고방식을 가까이하고 있다. 사회의 표면에 직접 드러나는 일은 적지만 인간의 사상을 항상 윤택하게 해왔다.
고전적인 기하가 대수학이나 해석학 속으로 차츰 매몰되고 있을 때 수량이나 수식으로 완전히 표현할 수 없는 더 질적이고 더 근원적인 도형의 성질을 밝히려고 등장한 것이 토폴로지다. 이미 집합론과 함께 현대수학의 중요한 기초가 되었다. 또 토폴로지는 해석학이나 대수학과 결합하여 수학의 발전에 커다란 역할을 수행하고 있다. 이 책은 즐기면서 직관적으로 토폴로지의 사고방식을 흡수하는 것을 목표로 한다.
‘위상공간으로 가는 길’을 착실하게 걸어보자
수학 이외의 세계에서도 현재는 전문적인 토폴로지스트에게 뜻밖인 응용의 길이 열려 있다. 즉 그래프의 이론은 전기의 회로망, 정보, 신호 이론 등의 공학 방면에 가끔 이용된다. 경제학 등에서 큰 성과를 올리고 있는 게임의 이론에서 활약하는 부동점정리나 안장점(saddle point) 정리는 토폴로지의 영역에 속하는 정리이고, 특히 부동점정리는 응용 분야가 넓고 그 내용이 아름다운 것 때문에 토폴로지의 대표적 정리라고 할 수 있다.
이 책의 서장에서는 토폴로지의 소개를 가급적 스스럼없는 형태로, 본질을 놓치지 않도록 언급했다. 이어서 신변의 문제와 여러 가지 관련을 갖는 그래프의 이론으로 들어간 다음, 서서히 내용을 심화시켜 차원을 높임으로써 ‘위상공간으로 가는 길’을 착실하게 걷고자 한다.
이 책에서는 토폴로지를 시각적으로 파악하는 것을 목표로 삼고, 가급적 그림을 많이 넣어 이해하는 데 도움을 주고자 한다. 이 책을 만난 독자들은 즐겁게 토폴로지적 사고방식의 길을 한 걸음 한 걸음 음미하며 걸을 수 있을 것이다.
머리말
서장
1. 그래프의 장
2. 곡선의 장
3. 곡면의 장
4. 역사의 장
5. 고차원의 장
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