갈루아 이론은 가장 아름다운 이론으로 손꼽힌다. 그러나 기존에 출간된 갈루아 이론 서적들은 아름다움이 아닌 방정식을 푸는 과정이나 근의 모습 등에 집중하였다. 그래서 글과 수식만 빼곡한 책이 될 수밖에 없었다. 하지만 이 책은 다른 각도에서 갈루아 이론을 소개한다. 갈루아가 군론을 찾은 과정뿐만 아니라 그의 이론이 아름다운 이유는 무엇인지까지 살펴본다. 특히 구체적인 (시각 및 청각) 자료의 제시는 독자가 갈루아 이론의 아름다움에 매료될 수 있도록 도와준다.
대칭을 표현하는 수학적 언어인 군론(갈루아 이론)은 ‘대칭’을 더 깊이 이해할 수 있게 한다. 즉, 군론은 자연의 법칙보다 더 깊은 대칭에 관한 예술인 것이다. 대칭은 오늘날 중요성이 부각되고 있다. 대칭이 4차 산업혁명의 주역 분야에서 기초가 되어 21세기를 주도하고 있기 때문이다. 하지만 군론은 수학 전공자들에게도 어려운 이론으로 명성이 자자하다. 그래서 저자는 ‘갈루아 이론’이라는 어려운 이론을 더 쉽게 설명하기 위해 고민에 고민을 거듭하였다. 이 과정에서 나온 QR코드, 가상대화, 초상화는 책을 더욱 풍성하게 만들었다. 이 책은 독자에게 글, 그림, 음악 등 여러 콘텐츠를 제공하여 수동적인 ‘읽기’가 아닌 능동적인 ‘이해’를 돕는다. 따라서 갈루아 이론을 처음 접하는 독자에게도 좋은 첫걸음이 될 것이라 기대한다.
ㆍ군론과 대칭
모든 것은 ‘관계’로 연결되어 있다. 학문은 이러한 관계에 주목하는 데서 출발한다. 군론도 마찬가지이다. 오차방정식의 해를 대수적으로 구하는 근의 공식은 없다는 사실이 밝혀진 후, 갈루아는 풀이가 가능한 오차방정식과 그렇지 않은 오차방정식을 구분하는 기준을 찾고 싶었다. 그래서 그는 방정식과 대수적 해법 사이의 ‘관계’를 증명하기 위해, 대칭의 수학적 언어인 군론을 정립했다.
이렇게 등장한 군론은 그 이전의 수학자들의 시각을 바꾸고, 자연의 비밀을 풀 수 있는 해답지인 대칭을 주었다. 오늘날 군론(대칭)은 과학 기술 발전의 핵심 요소로 자리잡았으며, 복잡한 문제도 추상화를 통해 효율적으로 해결한다. 이처럼 군론은 등장한 지 약 200년이 다 되어 가는데도 불구하고 여전히 많은 학자들에게 아이디어를 주고 있다.
대칭은 여러 학문에 스며들어 빠른 속도로 성장하고 있다. 그중 가장 주목해야 할 분야는 물리학이다. 특히 양자물리학과 소립자물리학에서 대칭은 그 빛을 내고 있다. 불연속적이고 확률적으로 존재하는 미시 세계를 연구하는 양자물리학은 꾸준히 성장하여 오늘날 양자컴퓨터, 양자암호, 양자철학 등 놀라운 응용 성과를 내놓고 있다. 소립자물리학의 경우, 자발적 대칭성 깨짐 매커니즘을 규명해 자연계에 세 가지 쿼크가 존재함을 예견하였다.
ㆍ이 책의 특징
-가상대화
가장 큰 특징은 책 전반에서 나타나는 수학자들의 대화이다. 주로 등장하는 화자는 ‘여휴(경선징)’와 ‘여광(홍정하)’으로 조선 산학자의 호에서 따왔다. 이들의 대화는 본문을 보충 설명하고, 궁금증을 해결하는 역할을 한다. 또한 대화가 중학생이 이해할 수 있을 정도로 쉽기 때문에, 수학을 전공하지 않은 사람들도 겁먹지 않고 책을 펼칠 수 있다. 수학 책은 이론과 증명에 집중하는 경향이 있어서 대화를 전면적으로 내세운 책이 거의 없다. 그러나 『대칭: 갈루아 유언』은 방정식 풀이의 역사적 흐름을 따라 쉽게 설명하기 위해 ‘가상대화’라는 친근한 방법을 선택했다.
-초상화
갈루아, 가우스를 비롯한 여러 수학자들에게 한복을 입혀, 초상화로 소개한다. 이는 수학자들이 낯선 중?고등학생에게 친근감을 줄 것이다. 더불어 초상화는 이 책에 등장하는 많은 수학자 모두를 기억할 수 있게 돕는다. 한복을 입은 서양의 수학 대가들이 나오는 책이 많지 않기에 독특하며 유일한 매력을 갖고 있다.
-QR코드
책에 담을 수는 없는 콘텐츠(예를 들어, 음악)는 QR코드로 삽입하였다. 대칭을 통해 문양을 들을 수 있다는 점은 독자에게 신선한 충격을 줄 것이다. 수식만 가득한 책을 떠올리고 기피했던 독자에게는 이런 콘텐츠가 수학 책에 대한 두려움을 줄여 줄 것이다. QR코드는 다양하고 자세한 정보를 제공할 뿐만 아니라, 독자로 하여금 능동적 독서를 하게 만든다. 이런 과정이 독자의 성취감을 높여 줄 것이라 기대한다.
-전통 띠 문양과 벽지 문양
본 책의 10장에서 우리나라의 전통 띠 문양과 벽지 문양을 모두 볼 수 있다. 이 문양들은 하나의 기본조각에 대칭이 더해져 나온 것이다. 그 문양이 나타나는 구체적인 장소나 유물의 사진과 함께 기본조각의 그림을 보여주어 명확한 이해를 돕는다. 우리나라뿐만 아니라 북한, 이슬람 등의 문양도 함께 제시하여 풍부한 자료를 제공한다. 저자는 오랜 시간 직접 발로 뛰고, 서적을 살펴보며 대칭을 볼 수 있는 문양에 대해 연구하였다.
▶독특한 접근
모든 추상(현대)대수학 책은 예외 없이 갈루아 이론을 소개한다. 이 책의 갈루아 이론 소개 방식은 독특하다. 먼저, 중학교에서 배운 이차방정식의 풀이 과정을 다시... 기억한다. 그후 가장 일반적인 형태의 삼차방정식과 사차방정식의 풀이 과정을 자세히 살피고 실제로 풀어 근의 모습을 면밀히 주목하여 ‘근의 공식으로 풀린다’라는 말의 뜻을 정확히 이해하게 한다. 왜 그런 순서에 따라 방정식을 풀어야 하고 근(해)이 왜 그런 모습을 가져야 하는지를 갈루아 군인 대칭군 S₂, S₃, S₄의 구조로 설명한다. 이러한 관찰로부터 왜 일반적인 오차방정식은 거듭제곱근을 사용하여 풀리지 않는지에 관한 갈루아 유언의 핵심을 소개한다.
갈루아
서문
1부 다항식의 풀이: 대수학
Ⅰ. 오래된 수학
1. 오래된 문제
2. 4,000년 전
3. 부정방정식
4. 수 체계
5. 연산
6. 삼차/사차다항식
Ⅱ. 깨진 침묵
1. 삼차다항식
2. 사차다항식
3. 다른 방법
4. 그 이후
Ⅲ. 자유로운 영혼
1. 사원수
2. 밝은 눈
3. 도대체 무슨 일이
4. 접근 전략
5. 작도 가능성
Ⅳ. 깊이 묻힌 보화
1. 읽히는 대칭
2. 보이는 대칭
3. 들리는 대칭
4. 물리법칙에 스민 대칭
Ⅴ. 아름다움을 위하여
1. 대수적 구조
2. 군
3. 체와 벡터공간
4. 대수적 구조의 비교
2부 다항식의 풀이: 추상대수학
Ⅵ. 합력하여 선을
1. 근과 계수의 관계
2. 라그랑주의 시도
3. 군론적 표현
Ⅶ. 이루지 못한 사랑
1. 루피니
2. 대수학의 기본정리
3. 코시
4. 아벨
5. 아벨 군
Ⅷ. 갈루아의 생각
1. 해집합의 대칭성
2. 정규부분군의 역할
3. 분해체
4. 갈루아 군
5. 불변체
6. 분해체의 성질
Ⅸ. 깊은 대칭
1. 가해군
2. 갈루아 이론의 기본정리
3. 갈루아 이론의 기본정리의 예
4. 다항식의 가해성
5. 종착역
Ⅹ. 수학자의 낙원
1. 지나온 길
2. 아벨과 갈...루아의 후예
3. 오차다항식의 근
4. 무한으로
5. 대칭으로
6. 한국의 전통 띠 문양
7. 한국의 전통 벽지 문양
8. 띠 7, 벽지 17
9. 관음
10. 낙원으로
부록
용어 해설
후기
참고 문헌
찾아보기(국어)
찾아보기(영어)
그림 출처
79쪽: 아름다움에는 공통 인자가 있다. 바로 ‘대칭’이다. 대칭은 아름다움의 핵심 코드이자 이 책의 핵심 개념이다. 대칭은 여기저기 편재해 있으므로 자명해 보이지만 심오한 개념이다.
243쪽: 대칭은 깊이 묻힌 보화였고, 갈루아의 언어는 깊은 대칭을 효과적이며 아름답게 설명한다. 이 언어가 종국에는 오차다항식 풀이의 비밀을 드러나게 했다.
105쪽: 오차다항식의 풀이를 찾기 위한 긴 침묵의 시간 동안, 수학은 대칭을 주목하기 시작하였다. 대칭, 즉 아름다움의 코드를 이해하기 위하여 우리가 해야 할 일이 있다. 대칭의 언어를 배워야 한다. 대칭을 기술하고 설명하는 특별한 언어. 갈루아의 유언을 이해하기 위해서는 이 언어를 피할 수 없다. 갈루아가 주목한 것이 바로 대칭이고 갈루아가 유언으로 남긴 화두가 대칭이기 때문이다.
345쪽: 대칭은 수학자의 낙원이다. 수학자는 즐겁게 대칭을 계산한다. 현대 수학에서 무한과 대칭을 제거하면 무엇이 남을까? 아마 황무지일 것이다. 무한과 대칭이 어우러지면 어떨까? 낙원이자 예술이다. 대칭과 갈루아 이론은 ‘수학의 대통일이론’이라고 부르는 ‘랭글랜즈 프로그램’의 핵심이다. 갈루아가 그의 삶 마지막 순간에 유언으로 안내한 곳이 여기이다. 2,000년 이상의 세월에 걸친 문제, 그 해결의 실마리는 대칭이었다. 갈루아는 유언으로 그 비밀을 남겼던 것이다. 대칭은 큰 수학이 되었고, 과학의 강력한 언어가 되었으며, 예술을 낳았다. 바로 정신적 예술이다.
신현용 [저]
이 책의 글을 썼다. <수학 IN 음악>, <수학 IN 디자인>, <대칭: 갈루아 이론>, <수학: 학제적 대화코드>, <무한: 수학적 상상> 등을 저술하였으며, 한국수학교육학회 회장과 제12차 국제수학교육대회(ICME-12) 조직위원장으로 봉사하였다. 한국교원대학교에서 교수로서 30여 년간 근무했고, 현재는 수학디자인연구소 매디자인(mathesign)의 연구원이다.
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