『수학으로 세상보기』는 수학의 역할에 대해 교양차원의 지식을 습득할 뿐만 아니라, 어느 정도 계산과 활용에 참여하도록 도와준다. 고대 그리스 수학과 수학의 토대를 비롯하여, 역설과 궤변, 방정식과 대수학, 해석학, 현대 기하학, 법산과 암호, 증명, 공평한 분배와 배정문제 등을 주제로 수학을 정리한다.
제1장 왜 배울까? 9
1.1 항등원과 역원 10
역함수 존재의 의미 14
결합법칙 17
분배법칙 18
대칭 21
1.2 원주율 27
급수를 이용한 원주율의 계산 29
파이는 왜 180도 인가? 32
호도법 33
1.3 자연대수 36
원리합계와 이자의 계산 36
은행에서의 이자 계산 38
자연대수 39
1.4 무한대 이야기 44
1.5 추상 수학 53
1.6 수학으로 세상 보기 64
제2장 수학과 생활 71
2.1 공평한 분배와 배정 72
공평한 분배 72
배정 98
2.2 투표제도 105
투표제도 106
투표제도의 문제점 112
2.3 외판원 문제 123
그래프 123
외판원 문제 129
2.4 금융 수학 134
차익거래가격 결정이론 137
연속모델의 위험 중립가격 결정원리 147
2.5 대진표 짜기 149
경기 순서의 결정 157
리그전에서의 경기 수 158
흥미를 일으키는 대진 방식 160
U-20 월드컵 진행 순서 161
2.6 게임의 법칙 168
알집기 게임 168
제로섬 게임과 비제로섬 게임 172
제3장 수학과 논리 187
3.1 역설 188
3.2 명제 196
참인 명제와 거짓인 명제 말하기 198
‘모든’이 들어있는 명제와 ‘어떤’이 들어있는 명제 199
3.3 귀류법 200
3.4 수학적 귀납법 201
수학적 귀납법과 유사한... 토론 205
제4장 수학의 영역 223
4.1 해석학 224
4.2 대수학 229
4.3 기하학이란? 237
위상 수학(topology) 238
비유클리드 기하학 240
비누막 실험과 극소곡면 245
사영기하학 251
쪽매붙이기 257
연습문제 풀이 263
참고문헌 285
색인 289
[머릿말]
인간의 역사는 문명의 발전과 함께 해왔다. 인간에게 필요했던 문명의 발전은 언제나 수학적 사고로 시작되어 수학 지식으로 완성되었다고 해도 지나치지 않는다. 오늘날 일상생활은 원하든 원하지 않든 수학이 없이는 불가능해졌다. 이는 고등교육을 하는 국가들은 예외 없이 수학을 가장 중요한 과목으로 교육하고 있는 현상에서도 확인할 수 있다.
많은 사람에게 수학하면 떠오르는 첫인상은 어렵다는 것이다. 오늘날 수학은 삶을 영위하는 데 없어서는 안 되는 중요한 영역이지만 성인에게는 가장 싫어하는 영역이라는 불명예도 갖는다. 어린이때는 수학을 좋아하는 학생이 꽤 많다. 그러나 좋아하던 과목인 수학이 학교 교육을 거치면서 가장 싫어하는 과목이 된다. 이런 현상은 수학을 잘못 가르치고 배운 탓도 있을 것이다.
고교과정까지의 학생들의 수학 공부를 돌이켜 보면 초점이 시험성적, 특히 대학 입시에 맞추어 있다. 새로운 수학적 사실을 이해하고 깨달아가며 배우는 즐거움을 느끼며 수학을 공부하는 것이 아니다. 많은 문제 풀이를 통하여 풀이 방법을 익혀서 좋은 점수를 얻는 기술을 숙달하는 훈련을 한다. 그러다 보니 새로운 주제의 공부를 시작할 때 그 주제를 왜 배우는지, 그 주제가 현실과 어떻게 연결되는지를 살펴볼 여유조차 없는 것이다. 인간은 새로운 지식을 갈망하고 그 지식을 얻었을 때 행복을 느낀다고 한다. 입시를 위한 수학 공부가 아닌 새로운 지식을 얻으며 공부를 한다면 없던 흥미도 생길 수도 있다.
실제로 수학은 자연과 실생활에서 일어나는 현상을 잘 관찰하여 수학적으로 표현하고 그 구조를 밝히는 일을 한다. 이에 관해 갈릴레이 갈릴레오는 다음과 같이 말했다.
철학은 끊임없이 우리 눈 앞에 펼쳐지는 거대한 책(우주를 의미)에 기록되는데, 그 책에 쓰여진 언어와 사용된 문자를 배우지 못하면 책의 내용을 이해할 수 없다. 그 책이란 수학이란 언어로 쓰여 있고, 그 언어의 문자는 삼각형, 원 및 다른 여러 가지 기하학적 도형들이다.
이것 없이는 단 한 줄도 이해하기란 불가능하며, 이것 없이는 마치 어두운 미로를 헤매는 것과 같다.
이 책은 몇 가지를 고려하여 저술하였다. 고등학교까지의 교육과정에서 배웠던 수학 중 자주 보았던 주제를 선택하여 왜 배웠는지를 설명하였다. 다른 책에서 설명을 찾아볼 수 없거나 찾기 어려운 수학 용어를 수학 비전공자까지 고려하여 해설을 실었다. 우리의 생활과 관련 주제를 선택하여 실용성과 흥미를 고려하였다. 참고로, 이 책에서 가끔 나오는 †부터 ■ 까지의 부분은 참고사항으로, 이해하면 좋은 내용이지만 이 책의 성격상 다루지 않아도 무방하다. 이 책은 한 학기 대학 교양교재로 활용할 수 있도록 만들었다.
많은 사람들의 자료와 저서들을 참조하여 만든 강의노트가 새로운 공저자의 참여 등으로 지금의 형태로 발전했다. 이 책을 출판할 수있도록 도와주신 분들께 감사드린다.
정의채 [저]
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