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교양으로 읽는 수학

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• ‘데이트 설렘 곡선’부터 ‘인생의 가속도’까지 수학은 어떻게 우리의 일상을 지배하는가? 메이지대 사이토 다카시 교수가 전하는 세상에서 가장 쉬운 수학 수업! -주식 투자 전문가는 어떻게 거품 붕괴를 예상할 수 있었을까? -채용 면접은 회사의 ‘f’와 나의 ‘f’가 만나는 자리라고? -나에게 맞는 좌표축을 발견하여 진로를 결정할 수 있다고? -기댓값은 어떻게 무모한 선택을 막아줄 수 있을까? -여사건을 알면 왜 긍정적인 마음과 용기가 생길까? -벤 다이어그램은 어떻게 판단력 상승과 차선책 발견을 도울까? -증명을 알면 인간관계까지 좋아진다고? 저자는 대학교 강의를 하면서 함수나 미적분 예시를 들 때마다 기겁하는 문과생들이 매우 안타까웠다. 그래서 대학교 입학과 동시에 수학을 놔버리는 사람들을 위해 이 책을 썼다. 저자는 책에서 연애 감정을 느끼는 기간에 대해 이야기하다가 ‘데이트 설렘 곡선’을 미분적으로 설명하고, 신입사원의 액션 플랜을 이야기하다가 자연스레 ‘인생의 가속도’를 수학적으로 설명한다. 처음에는 “왜 수학책에서 이런 이야기를 하는 거지?” 의심스럽지만 탄탄한 수학적 배경과 신선한 통찰로 가득한 그의 이야기를 따라가다 보면 어느새 아, 하고 탄성을 내뱉는 순간이 찾아온다. 이렇듯 이 책은 수학이 어떻게 우리의 일상을 지배하는지 흥미로운 예시를 통해 알려준다. 주가를 예측하는 미분에서 무모한 선택을 막는 확률까지 ‘쓱’ 읽으면 ‘싹’ 이해되는 놀라운 수학 이야기가 가득하다. 과학, 음악, 미술, 철학, 문학, 역사 등 여러 분야를 종횡무진 넘나들며 예를 드는 기발한 상상력과 그 상상력을 수학적 사고로 풀어가는 흥미진진한 놀라움이 있다. 주가의 움직임을 간파하고 예측하는 방법부터 사업에서 기회를 민첩하게 포착하고 시류의 변화를 알아채는 기술이 미분적 감각을 적재적소에 가져다 쓴 결과라는 기상천외한 발상에 웃음을 짓다가 어느새 자연스럽게 일상 속에 숨겨진 수학의 활용법을 습득하게 되는 놀라운 일이 일어나게 된다. 이 책을 통해 부디 당신도 수학의 매력에 빠져들어 수학적 사고로 세상을 읽는 새로운 시각을 갖게 되길 바란다. 이 책을 다 읽고 나면 정말로 세상은 온통 수학임을 깨닫게 될 것이다!
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• 노래방과 틱톡에서 ‘함수’를 찾고, 정치인의 연설에서도 ‘증명’을 발견한다! 우리 사는 곳곳에 숨어 있는 생활 속 수학 이야기! 저자는 많은 사람을 만나며 ‘수학적 사고’를 활용할 줄 아느냐 모르느냐에 따라 인생이 달라진다는 것을 깨달았다. 똑같은 주식을 하더라도 미분적 변화를 예측하여 대박을 터뜨리는 사람이 있는 반면 이리저리 휘둘리며 손해를 보는 사람이 있다. 또한 똑같은 공부를 하더라도 노력을 벡터적으로 분해해 실력이 일취월장하는 사람이 있는 반면 이것저것 손대며 실력이 답보 상태인 사람이 있는데 이 차이는 바로 ‘수학적 사고’ 때문이다. 그렇다면 ‘수학적 사고’를 할 수 있는 사람의 눈으로 본 세상은 어떨까? 수학적 사고를 할 수 있는 사람의 눈으로 세상을 바라보면, 생각지도 못했던 일상의 수많은 부분이 흥미진진한 수학으로 가득한 세계라는 것을 깨닫게 된다. 저자는 장마다 미분, 함수, 좌표, 확률, 집합, 증명, 벡터 등 수학적 개념을 생활 속 다양한 사례에 접목하며 독자를 재미있는 수학의 세계로 안내한다. 뼛속까지 문과생이지만 수학 덕후이기도 한 사이토 다카시 교수는 세상의 모든 것을 ‘수학적 사고’로 바라본다. 그는 물가, 주가, 아이의 성적 변화, 데이트의 설렘 변화, 악기나 스포츠의 숙련도 변화 속에서 ‘미분’을, 화가의 개성, 작가의 문체, 운동선수의 플레이, 기업의 스타일부터 국가나 종교, 프라모델, 노래방, 색칠 공부, 틱톡이라는 ‘f’의 변환 속에서 ‘함수’를 발견한다. 또 회사 경영자나 인사 담당자, 가게 주인, 진로를 고민 중인 사람이라면 유용한 판단력을 얻을 수 있는 ‘좌표’에 대해 설명하고, 카지노, 복권 등 투자를 결정할 때 무모한 선택을 막아주는 ‘확률’에 대해 재밌게 풀어간다. 그뿐만 아니라 취직이나 결혼 같은 인생의 중대한 선택에서 셋집 구하기나 양복 고르기 같은 일상적 선택까지 벤 다이어그램을 통한 활용법을 ‘집합’으로 설명하고, 수치로 제시한 목표가 없는 정치인의 연설은 반증 가능성이 없다는 ‘증명’의 오류를 집어낸다. 마지막으로, 방향성이 달랐던 록 밴드의 해체 속에서 ‘벡터’의 차이를 찾기도 한다. 이처럼 술술 읽기만 해도 저절로 개념이 잡히는 이 책을 덮을 때쯤이면 평소 우리가 지나치는 것 중 수학과 무관한 것은 단 하나도 없다는 것을 깨닫게 되고, 수학적 렌즈가 장착되어 세상을 바라보는 해상도가 한층 높아졌음을 실감하게 될 것이다. 미분, 기댓값, 여사건, 벡터… 몰라도 OK! 뼛속까지 문과생도, 수포자 우리 아이도 끝까지 다 읽는 꿀잼 수학 교양서! 이 책은 어려운 지식을 알게 쉽게 설명하는 탁월한 능력을 갖춘 사이토 다카시표 수학 교양서다. 그는 지식과 실용을 결합한 새로운 스타일의 글로 일본에서 가장 주목받는 베스트셀러 작가로 자리매김했다. 이 책에서 그는 뼛속까지 문과생도, 수포자 학생들도 끝까지 책장을 넘길 수 있도록 절묘하고 기발한 예시와 흡인력 있는 문장력을 총동원한다. 과연 잠시도 지루하지 않은 스토리텔링으로 수학의 재미를 일깨우며 숨어 있던 지적 욕구를 자극한다. 그뿐만 아니라 뉴턴, 데카르트, 니체 등 수학과 언뜻 관련 없어 보이는 인물들까지 유기적으로 연결해서 엮어가는 솜씨가 일품이다. 지금까지 수학을 어렵고 딱딱하게 여겨 왔다면 이 책과 함께 그 편견을 시원하게 날려 버릴 수 있을 것이다. “저자의 표현력에 경의를 표한다. 수학적 요소를 ‘문과적으로 해석’한다. ‘이과의 해설’과는 차원이 다르다. 기호와 숫자에 알레르기가 있는 사람도 재미있게 읽을 수 있다.” _일본 아마존 독자 리뷰 중
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• 프롤로그: 수학은 쓸모가 있다! 제1장 미분: 수학적 사고의 ‘ 꽃’을 철저히 활용한다 문과는 좌절에 빠지고 이과는 감동에 빠지는 미분│주식 투자 전문가는 어떻게 거품 붕괴를 예상할 수 있었나│특정 순간의 변화 추세를 나타내는 ‘접선의 기울기’│스포츠 지도자도 갖추어야 할 미분적 사고│일본인의 가슴에 제행무상을 새긴 ‘헤이케 곡선’│네 번째 예명으로 비로소 상승세를 탄 가수 이츠키 히로시│데이트의 ‘설렘 곡선’을 미분하라│미분 감각을 익히면 매 순간의 행복을 깨달을 수 있다│발전이 ‘정비례’로 이루어졌다면 인간 게놈 계획은 완성까지 700년│눈 깜짝할 사이에 추락한 나의 첼로 연주 실력│자전거와 생크림의 공통점│미분은 ‘특정 순간의 속도’를 알아내기 위해 태어났다│운동방정식 F=ma와 관성의 법칙│관성으로 움직일 수 없는 신입사원은 액셀을 힘차게 밟자│예능인 다모리의 관성과 가속도│하이데거라는 짐을 내려놓고 가속도를 올린 나│‘가속도가 0’인 교사는 좋은 수업을 하지 못한다│미분적 사고가 ‘교양인’의 최소 조건 제2장 함수: ‘f ’에서 태어나는 무한한 아이디어 가수 이노우에 요스이의 ‘재즈화’를 수학적으로 생각한다│변환성이 일정하지 않...은 화가에게는 개성이 느껴지지 않는다│철학의 ‘관계주의’란 무엇일까?│흉내 내고 싶을 만큼 매력적인 ‘f ’의 위대함│프로듀서가 할 일은 가수의 ‘f ’를 간파하는 것│가수 이시카와 사유리와 화가 사에키 유조에게 맞는 ‘f ’는?│스타일이란 ‘일관된 변형 작용’이다│존 매켄로의 스타일을 완벽하게 복제하다│애플과 혼다의 변형 작용│구직을 할 때는 회사와 나의 ‘f ’의 상성이 중요하다│‘조직과 개인’의 화학 반응│국가와 종교도 ‘거대한 f ’│노래방이라는 ‘y’는 어떤 함수에서 나왔을까?│노래방과 프라모델의 공통점 제3장 좌표: x축과 y축으로 세상을 평가한다 한 철학자가 고안한 수학의 기본 도구│평면상의 ‘주소’는 숫자 두 개로 정해진다│좌표축으로 나뉘는 ‘사분면’│‘3점 슛 규칙’이라는 평가축이 낳은 슈퍼스타│‘평가는 창조다’│예전의 아이돌과 현재의 아이돌은 평가축이 다르다│‘맛없고 지저분한 가게’가 제1사분면에 들어가는 좌표축도 있다│어떻게 해야 제3사분면에서 제1사분면으로 갈 수 있을까?│늘 ‘x축’과 ‘y축’을 염두에 두자 제4장 확률: 무모한 선택을 막고 도전할 용기를 갖기 위해 문과생도 이미 사용하는 수학적 사고│주사위의 ‘기댓값’은?│룰렛에서 짝수가 나올 확률은 50퍼센트 미만│기댓값은 ‘무모한 선택’을 막아준다│‘여사건’이란 무엇일까?│‘무모’와 ‘무난’의 전환 제5장 집합: 뒤죽박죽인 머릿속을 깔끔하게 정리한다 수학을 이해하려면 국어가, 국어를 이해하려면 수학이 필요하다│‘또는’과 ‘또한’의 차이를 벤 다이어그램으로 이해한다│토론은 화이트보드에 벤 다이어그램을 그리면서 하자│‘차선책’을 찾아내는 벤 다이어그램 사용법 Column 1 인수분해: 괄호로 묶어 ‘정리하는 사고’ 제6장 증명: 속지 않기 위한 논리력을 훈련한다 수학적 증명은 ‘생각하는 법’과 ‘말하는 법’의 훈련│유클리드 기하학의 ‘공리’란│전제가 틀리면 삼각형의 내각의 합도 180도가 아니다│고정 관념=선입견에서 벗어나는 현상학의 사고법│ 반증 가능성이 없으면 과학이 아니다│뉴턴을 뛰어넘은 아인슈타인의 이론 Column 2 서술형 문제: ‘풀이 과정’을 설명할 수 있으면 꼭 계산할 필요는 없다 제7장 벡터: 방향과 크기로 생각한다 벡터는 단순한 ‘화살표’가 아니다│밴드가 해산한 이유는 정말로 ‘방향성의 차이’ 때문일까?│노력의 벡터를 ‘분해’, ‘합성’해 본다 Column 3 절댓값: 에너지가 ‘미치는 폭’에 주목한다 에필로그: 왜 지금 수학적 사고가 필요한가
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• 교직 과정 강의에서 어쩌다 이과 학생이 함수나 미적분을 화제에 올리는 일이 있다. 그렇다 해도 딱히 어려운 이야기는 아니다. 칠판에 수식을 줄줄이 쓰는 것도 아니고 단지 설명을 위한 도구로 수학의 개념을 꺼낼 뿐이다. 수학에 빗대어 이야기하는 것은 이과생들에게 지극히 일상적인 일이다. (중략) 그러나 문과 학생 중에는 수학 개념이 언급되는 순간 어리둥절해지며 대화 내용을 이해하지 못하는 사람이 있다. 반면, 이과 학생은 ‘고등학교에서 배웠던 내용인데 이런 기초적인 얘기도 못 알아듣다니’라며 놀란다. 나는 그런 모습을 몇십 년이나 보아 왔다. 정말이지 안타까운 일이다. 이과생이든 문과생이든 수학의 사고법을 활용하면 세상일을 한층 깊이 이해할 수 있다. 어려운 이야기도 스포츠에 비유하면 ‘아하, 그렇군’ 하고 직관적으로 이해할 수 있는 것과 마찬가지다. 막연하고 콕 집어 정의하기 어려운 세상사가 수학적 사고를 활용하면 손에 잡힐 듯이 명쾌하게 이해되는 일이 우리 주변에는 얼마든지 있다. -프롤로그 ‘수학은 쓸모가 있다’ 중에서 주식 초보자는 눈앞의 주가가 하늘을 찌르고 있으니 ‘앞으로도 줄곧 오를 것’이라 기대했지만 전문가는 주가 상승이 거의 정점에 달했다는 사실을 간파했던 것이다. 그들은 주가가 최고치를 기록하고는 있지만 이미 상승 동력을 잃었으니 ‘곧 하락하리라’는 사실을 예상할 수 있었다. 이러한 전문가의 진단이 바로 ‘미분적 사고’다. 설령 지난 수개월간 주가가 계속 올랐다 하더라도 ‘지금 이 순간’ 치고 나가는 힘이 없으면 속도를 잃고 추락한다. 미분이란 ‘순간의 기세’다. 그래서 미분적 사고를 하면 변화의 방향을 예상할 수 있다. (중략) 미분적 사고를 하는 사람은 지금까지의 변화율에 휘둘리지 않고 각각의 변화가 앞으로 ‘오르막’으로 향할지 아니면 ‘내리막’으로 향할지 간파할 수 있다. -제1장 미분 ‘주식 투자 전문가는 어떻게 거품 풍괴를 예상할 수 있었나’ 중에서 ‘F=ma’ 공식에서 얻을 수 있는 지혜는 또 있다. 좌변의 ‘F(힘)’가 크면 우변의 ‘a(가속도)’도 오르지만 이 공식에는 또 하나 ‘m (질량)’이라는 요소가 있다. 그럼 동일한 힘으로 가속도를 올리려면 어떻게 하면 될까? 문과생이라도 이 정도 수식은 이해할 것이다. ‘힘=질량×가속도’이므로 좌변의 크기를 그대로 두고 가속도를 높이려면 질량을 줄여야 한다. 공식을 보지 않더라도 감각적으로 알 수 있다. 볼링공과 테니스공을 같은 힘으로 던지면 가벼운 테니스공이 한층 더 가속한다는 사실은 분명하다. 그러므로 가속도를 붙여 관성의 법칙에 빨리 몸을 싣고 싶다면, ‘무거운 짐’을 조금 내려놓아 ‘m’을 작게 만드는 것도 한 방법이다. 예를 들어 공부를 할 때 자신에게 짐이 무거운 과목부터 시작하면 좀처럼 가속이 붙지 않는다. 같은 에너지를 쓴다면 짐이 가벼운 과목부터 시작하여 힘껏 가속을 붙이고 나서 그 탄력으로 짐이 무거운 과목에 손을 대는 것이 공부를 편하게 하는 방법이다. -제1장 미분 ‘하이데거라는 짐을 내려놓고 가속도를 올린 나’ 중에서 회사의 채용 면접은 회사의 f와 입사 희망자의 f가 만나는 자리다. 기업의 채용 담당자는 면접 대상자가 어떤 f의 소유자인지를 알고 싶어 한다. “실패담을 말해 주세요.”라는 질문을 상대의 x에 넣었을 때 나오는 대답은 각자의 f에 따라 다르다. 채용 담당자는 대답 그 자체가 아니라 변환성을 본다. ‘무역 회사에서는 이런 대답을 원할 것이다’라고 생각하며 형식적이고 교과서적인 대답을 한다면 그다지 효과가 없다. -제2장 함수 ‘구직을 할 때는 회사와 나의 ‘f’ 상성이 중요하다’ 중에서 예를 들어 노...래방이라는 y는 어떤 f에서 나왔을까? 지금은 개별로 분리된 방에서 노래를 부르는 것이 일반적이지만 원래는 그렇지 않았다. 주점에 노래방 기계가 설치되어 있어서 술을 마시러 온 손님이 종업원에게 요청하면 곡을 틀어 주는 시스템이었다. (중략) 주점에서 술을 마시는 김에 노래하던 것이, 이윽고 놀이의 하나로 독립된 존재감이 생기면서 전용 서비스가 등장했다. 바로 노래방이다. 노래 주점이라는 x를 어떤 f에 넣었더니 노래방이라는 y로 변환되었다. 그것은 어떤 f일까? 명칭의 변화를 보면 금방 알 수 있다. ‘노래 주점’을 ‘노래방’으로 변환한 것은 ‘개별화’라는 f다. (중략) 그 사실을 알고 나면 이제 개별화라는 함수에 대해 생각할 수 있다. 개별화 함수의 x에 또 다른 것을 넣으면 노래방이 아닌 다른 y가 나올 것이다. 그렇다면 그 밖에도 개별화라는 f에서 생겨나는 다른 무언가가 있을지도 모른다. 그러면 이제 세상의 트렌드에 눈을 뜰 수 있다. 무언가를 개별화하는 새로운 사업 아이디어가 탄생할지도 모른다. 세상을 f로 보면 그러한 힌트를 얻을 수 있다. -제2장 함수 ‘노래방이라는 ‘y’는 어떤 함수에서 나왔을까?’ 중에서 복권 구입 금액 역시, 복권 구입 후 당첨 발표일까지 큰 ‘드림’을 꾸기 위한 참가비라고 생각하는 편이 좋다. 한 장보다 열 장, 열 장보다 백 장을 사면 좀 더 달콤한 꿈을 꿀 수 있을지도 모르지만, 그 기댓값은 사람마다 천차만별일 것이다. 어감상 ‘기댓값’은 우리의 기대감을 높여 주는 단어처럼 여겨진다. 하지만 실제로는 오히려 ‘기대만 부풀리지 말고 제대로 현실을 보라’라고 꾸짖는 말이다. 복권 판매소 앞에서 ‘3억 엔에 당첨될지도 몰라!’라며 들떴다가도 기댓값을 알면 냉정해질 수 있다. (중략) 이런 말을 하면 기댓값은 ‘용기 있게 도전하는 사람’을 부정하는 도구처럼 생각될지도 모른다. 하지만 그런 의미가 아니다. 기댓값은 ‘무모한 선택’을 막아 준다는 뜻이다. -제4장 확률 ‘기댓값은 ‘무모한 선택’을 막아 준다’ 중에서 기댓값은 ‘냉정해질 수밖에 없는 현실’을 마주 보게 해주었다. 그에 반해 여사건은 ‘용기가 솟는 현실’을 가르쳐 준다. 어느 쪽이든 ‘현실’을 똑바로 보는 것이 중요하다. 현실에서 눈을 돌린 채 무한정 의욕만 부풀려도 안 되고, 현실을 알지 못한 채 불안에 쫓겨 움츠러들어서도 안 된다. ‘공격’을 하든 ‘수비’를 하든, 현실을 바탕으로 올바르게 공격하고 올바르게 수비 하며 현명하게 살아가야 한다. 확률 사고는 그런 삶의 태도에 도움이 된다. 확률 사고법을 갖추면 무언가에 도전할 때 시간이나 에너지 배분에 낭비가 없어진다. -제4장 확률 ‘‘무모’와 ‘무난’의 전환’ 중에서 또한 반증 가능성을 중요시한다는 의미에서 ‘목표를 숫자로 제시하는 사람’은 신용할 만하다. ‘매출을 30퍼센트 이상 올리지 못하면 책임을 지겠다’처럼 수치로 제시된 목표는 잘못을 명백하게 지적할 수 있으므로 반증 가능성이 있다. 목표치를 달성하지 못하면 깨끗이 책임을 질 수밖에 없다. 자기 자신에게 엄격한 조건을 부과한다는 점에서 신용할 수 있다. 반대로 “최선을 다해 일하겠습니다!”, “국민의 행복을 실현하겠습니다!”와 같은 정치인의 연설에는 전혀 반증 가능성이 없다. -제6장 증명 ‘뉴턴을 뛰어넘은 아인슈타인의 이론’ 중에서 노력의 분해와 합성에 대해 생각해 볼 수 있다. 예를 들어 입시를 위해 영어 성적을 올리려 노력하고 있는 상황이라면 ‘영어 공부’라는 벡터를 ‘어휘 벡터’와 ‘독해 벡터’ 두 개로 나눠 본다. ‘영어’라는 방향에 투입할 수 있는 시간과 에너지가 일정하다면 어휘 방향과 독해 방향에 시간과 에너지를 얼마만큼 투입해야 하는지 윤곽을 그릴 수 있다. -제7장 벡터 ‘노력의 벡터를 ‘분해’, ‘합성’해 본다’ 중에서 어째서 수학적 사고가 쓸모 있는가? 단적으로 말해 수학적 사고를 하면 ‘매사를 이성적으로 생각할 수 있기 때문’이다. (중략) 현재의 사회에서 이성이 외면당하는 까닭은 ‘이성의 훈련’이 부족하기 때문이다. 그렇기에 나는 이 책에서 수학적 사고가 중요하다고 이야기했다. 더 나은 사회를 만들려면 이성적인 토론이 필요하고, 이성을 익히려면 수학적 훈련이 불가결하기 때문이다. (중략) 그러나 작금의 세상을 보고 있으면, 사람들이 이성을 모조리 소모해 버려서 사회 전체가 전근대로 역행하고 있다는 느낌마저 든다. 그런 일을 막으려면 다시금 이성의 중요함을 깨닫고 이성을 단련해야만 한다. 그런 면에서 현재는 전례 없이 수학적 사고가 많이 요구되는 시대라고 할 수 있다. “수학은 아무 쓸데가 없어.”라면서 무작정 수학을 멀리할 때가 아니다. 사회의 중요한 의사 결정에 참여하는 일이 많은 사람일수록 수학적 사고가 필요하다. 수학이라는 멋진 사고의 도구가 존재하는 의미를 깊이 이해하고, 수학적 사고를 충분히 활용하는 사람들이 늘어나기를 바란다. -에필로그 ‘왜 지금 수학적 사고가 필요한가?’ 중에서
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• 사이토 다카시(齊藤孝) [저]

• 일본에서 가장 주목받는 베스트셀러 작가이자 언어학자. 지식과 실용이 결합된 글쓰기로 발표하는 책의 대부분이 베스트셀러가 되었다. 대표작 『소리 내어 읽고 싶은 일본어』와 『신체 감각을 되살린다』가 밀리언셀러가 되었고, 신조학예상과 마이니치출판문화상을 수상했다. 아사히 신문 등 유력 일간지의 컬럼니스트로 활약하면서, 최근에는 NHK와 후지TV에서 교육 프로그램을 직접 기획, 연출하고 있다.

• 김서현 [저]

• 번역 에이전시 바른번역에서 외서 기획자 및 번역가로 활동하고 있다. 번역도 수학처럼 명쾌하게 답이 정해져 있었으면 좋겠다는 생각을 한다. 옮긴 책으로는 《수학 개념 따라잡기: 삼각함수의 핵심》, 《수학 개념 따라잡기: 통계의 핵심》 등 다수가 있다.

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