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과학일반

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• 이 책은 한국 교원대에서 수학 및 과학 (예비)교사들에게 했던 여러강의들에 기초한 것으로, 만물의 존재 방식이자 인류의 위대한 지적 유산인 수학에 관한 다양한 생각들을 수학의 역사를 되짚어보며 소개하고자 저술한 책입니다.
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• CHAPTER 01 서론: 수학이란 무엇인가 001 1.1 수학에 대한 세 관점 002 1.2 수학과 과학의 관계 004 1.3 수학은 확실한가 010 1.4 수학을 공부하는 목적 012 1.5 생각해 볼 문제들018 CHAPTER 02 학문적 수학 이전의 수학 021 2.1 수학적 본능 022 2.2 수를 세다 · 024 2.3 숫자의 등장 026 2.4 산술과 기하의 태동(BC 2000년 경) · 028 2.5 한계점과 시사점 030 2.6 생각해 볼 문제들 033 CHAPTER 03 논증 수학의 개화 037 3.1 문화적 배경 038 3.2 밀레토스의 자연철학(BC 6세기 경) · 039 3.3 피타고라스 학파 040 3.4 무한의 문제 043 3.5 아테네의 플라톤 045 3.6 아리스토텔레스(BC 384~322) 047 3.7 헬레니즘 시대(BC 323~146)와 그 이후 048 3.8 유클리드의 원론(Elements) 049 3.9 그리스 수학의 의의 · 053 3.10 수학으로 자연을 탐구 053 3.11 생각해 볼 문제들 056 CHAPTER 04 과학 혁명: 수학, 과학, 종교의 삼중주 059 4.1 수학과 과학의 암흑기(중세) 060 4.2 르네상스와 종교개혁 · 061 4.3 천문학의 혁명 · 062 4.4 역학의 혁명 065 4.5 과학혁명이 주는 역사적 교훈들 · 070 4.6 생각해 볼 문제들 075 CHAPTER 05 수 체계와 미적분...학의 엄밀화 081 5.1 19세기 전반 수학의 상황 · 082 5.2 음수의 정당화 086 5.3 복소수(複素數, complex number)의 발견 088 5.4 무리수와 실수를 정의하다 · 091 5.5 해석학의 엄밀화 092 5.6 자연수의 공리화 094 5.7 생각해 볼 문제들 096 CHAPTER 06 수학, 낙원의 문턱에 서다 099 6.1 엄밀화와 공리화 100 6.2 무한의 신세계가 열리다 101 6.3 기수(Cardinal Number) 105 6.4 서수(Ordinal Number) 107 6.5 무한은 과연 존재하는가? · 111 6.6 미술로 표현된 무한 118 6.7 생각해 볼 문제들 120 CHAPTER 07 수학과 이성의 위기 123 7.1 논리적 역설들 124 7.2 의미론적 역설들 124 7.3 미봉적인 해결책들 125 7.4 공리적 집합론 126 7.5 ZFC 공리계 128 7.6 선택 공리에 대한 논란 131 7.7 연속체 가설 133 7.8 모순과 역설에 대한 다른 관점들 133 7.9 생각해 볼 문제들 135 CHAPTER 08 논리주의, 직관주의, 형식주의 137 8.1 논리주의(Logicism) · 138 8.2 Principia Mathematica 139 8.3 논리주의에 대한 비판들 142 8.4 직관주의(Intuitionism) · 143 8.5 직관주의에 대한 비판들 150 8.6 직관을 중시한 학자들 · 153 8.7 형식주의(Formalism) 156 8.8 형식주의에 대한 비판 · 158 8.9 대논쟁에 대한 철학적 해석 및 그 이후 159 8.10 생각해 볼 문제들 162 CHAPTER 09 괴델의 불완전성 정리 167 9.1 형식문의 Godel numbering 168 9.2 메타 수학의 산술식화 · 170 9.3 제1 불완전성 정리 170 9.4 제2 불완전성 정리의 증명 · 172 9.5 불완전성 정리의 철학적 함의 173 9.6 생각해 볼 문제들 178 CHAPTER 10 알고리즘과 튜링 기계 181 10.1 결정 문제(Decision problem) · 182 10.2 Turing machine 183 10.3 튜링 기계의 정지 문제와 결정 문제 186 10.4 알고리즘을 뛰어넘는 인간 사고 188 10.5 결정 불가(Undecidable) 문제들의 예 191 10.6 계산 가능한 수 vs 측정 가능한 수 · 192 10.7 양자 컴퓨터 194 10.8 생각해 볼 문제들 196 CHAPTER 11 인공 지능과 수학 그리고 인간 199 11.1 기계가 사고할 수 있는가? 200 11.2 인공 신경망(artificial neural network) 204 11.3 인공 지능의 현황과 전망 · 210 11.4 인공 지능의(AI-generated) 수학 217 11.5 인공 지능과 인간 220 11.6 인간 뇌의 신비 224 11.7 생각해 볼 문제들 227 에필로그 · 229 부록 · 231 A.1 제1원리(First principle, Ab initio) · 232 A.2 대칭성(Symmetry) 233 A.3 반증 가능성(Falsifiability) 234 A.4 포스트모더니즘(Postmodernism) · 235 A.5 동치 관계(Equivalence Relation) · 236 A.6 Banach-Tarski 역설의 2차원 version 237 A.7 사잇값 정리 238 A.8 통약 불가능성(incommensurability) 240 참고문헌 · 241 찾아보기 · 245
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• 서문 이 책은 한국 교원대에서 수학 및 과학 (예비)교사들에게 했던 여러강의들에 기초한 것으로, 만물의 존재 방식이자 인류의 위대한 지적 유산인 수학에 관한 다양한 생각들을 수학의 역사를 되짚어보며 소개하고자 저술한 책입니다. 인간이 처음으로 수학을 알게 된 것은 아마 “1+1=2”를 인식한 것이아닐까 합니다. 단순하지만 의미심장한 명제로서, 인류가 만들어낸 모든 과학기술 문명도 이 명제에 의존하고 있습니다. 정말 그것이 왜 확실한 것인지, “1+1”이 1이 되는 일은 결코 일어날 수 없음을 증명할 수 있을까하는 물음에 대한 답은 간단치 않고, 신비하게도 무한의 존재와 결부되어 있습니다. 무한의 의미와 실재성은 수학의 확실성을 가름하는 핵심 관건이며, 지난 세기 수학자들은 이 문제를 놓고 격렬히 논쟁했습니다. 이것이 이 책 전체를 관통하는 주요 주제라고 할 수 있지만 딱딱한 수리 논리와 철학적 이론보다는 재미있는 수학사, 신비하고 아름다운 수학의 세계를 보여주는데 초점을 맞추었습니다. 수학이 갖는 또 다른 신비는 자연을 정확하고 효율적으로 기술한다는 것입니다. 수학을 구성한 인간도 자연의 일부이기 때문일까요? 수학의 세계가 자연 세계와 어떤 관련을 가지는지 알고자 했으며, 점점 인간의 사고 능력에 근접 또는 추월해가고 있는 인공 지능의(AI-generated) 수학은 인간의 수학과 어떻게 다를지 사색해보았습니다. 피상적 이해에그치지 않기 위해 필요하다면 수식을 써서 설명을 했는데, 대부분의 수식들은 대학 1학년생이면 누구나 이해할 수 있도록 했으며, 어려운 수식들은 이해하지 못하더라도 전체적인 내용을 이해하는데 무리가 없고, 다만 관련 전공자에겐 정확하고 깊이 있는 설명을 제공하리라 기대합니다. 강의에 사용할 수 있도록 매 장이 끝마칠 때마다 생각해 볼 문제들을 제시하여 학생 스스로 자신만의 창의적 사고를 해볼 수 있도록 하였습니다. 이 책은 청소년 시절 자연의 신비와 아름다움에 매료되어 시작된 저자의 탐구 생활의 조그만 결실로서, 아무쪼록 이 졸저를 통해 독자들도 수학과 자연의 신비와 아름다움을 느끼게 되고, 그것이 인간에게 주는 의미가 무엇인지를 알게 되었으면 하는 바램입니다. 책의 주제가 포괄하는 범위가 너무 방대하고 깊다보니 대부분의 내용은 저자의 독창적인 생각이 아니라 선진들의 생각들을 취합하여 재구성한 것입니다. 특히 모리스 클라인의 「수학의 확실성」과 로저 펜로즈의 「황제의 새 마음」에서 많은 영감을 받았을 뿐 아니라 다수의 사실들을 인용하였습니다. 책을 쓰면서 여러 그림과 사진들을 다양한 인터넷 사이트에서 다운로드 받아 사용했는데 소중한 그림들을 공유해주신 익명의 분들께 감사의 마음을 전하며, 부족한 저자의 강의를 듣느라 고생했을 모든 학생들에게 사과의 마음을 전합니다. 조그만 책 하나도 오랜 산고 없이 만들어지지 않음을 배우게 됩니다. 지금의 저자가 있기까지 희생하신 부모님, 가르침을 주신 모든 은사님 들, 늘 사랑으로 섬겨준 아내에게 이 책을 헌정합니다.
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• 성찬영 [저]

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