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수학자가 들려주는 진짜 논리 이야기 : 복잡한 세상에 정확한 판단이 필요한 순간
송용진 ㅣ 다산초당
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  • 발행일
2023년 06월 01일
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316page/147*210*23/596g
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9791130699745/1130699749
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  • “생각의 근육을 키우는 가장 효과적인 방법!” 위상수학 분야의 세계적인 권위자가 전하는 생각의 힘! 아리스토텔레스부터 앨런 튜링까지 지적 거인들이 펼치는 향연! 이 책의 저자 송용진 인하대 교수는 20여 년간 국제수학올림피아드 한국대표단 단장 또는 부단장을 맡으며 대한민국이 두 차례 1등을 거머쥐는 데 기여한 인물이다. 저자는 오랫동안 대학교에서 수리 논리 및 논술, 집합론 등의 과목을 가르치면서 학생들이 논리적 사고에 유난히 약하다는 사실을 실감했고 학생들이 논리만 만나면 갑자기 머리의 회전을 멈춘다는 것을 알게 됐다. 그리고 그 이유가 학생들이 머리가 나빠서가 아니라 논리와 친숙해질 기회가 없어서라는 사실도 알게 되었다. 이 책은 논리에 조금이라도 관심이 있는 사람들이라면 그리 어렵지 않게 ‘논리와 관련된 이런저런 유익한 지식’을 얻어 논리와 친해질 수 있도록 내용이 구성되었다. 우리가 지금까지 보아온 논리에 대한 책은 대부분 어린 학생들을 위한 국어교육 차원의 책이거나 철학을 전공하는 대학생들을 위한 어렵고 형식적인 논리학 교재들이다. 하지만 이 책은 수학자의 장점을 살려 진짜 논리학에 대해 쓴 색다른 대중적인 논리책이다.
  • 지적문화, 그리고 제논의 패러독스와 러셀의 패러독스 책의 제1부에서는 논리가 중시되지 않는 우리나라의 문화에 대해 이야기한다. 저자는 상대방의 잘못을 지적하는 ‘지적문화’의 예를 든다. 미국, 영국, 일본 등은 우리나라보다 지적문화가 훨씬 강하다. 저자는 미국 유학 당시 사람들이 줄을 서는 모습을 보고 문화 수준의 차이를 실감했다. 그때 맥도날드에서는 누군가 줄을 서지 않고 그냥 계산대로 다가가면 주문받는 종업원이 당장 눈을 부라리며 줄을 서라고 소리를 질렀다. 이처럼 지적문화가 일상화되어 있기 때문에 줄을 서지 않을 수 없었던 것이다. 영국에서도 비슷한 경험이 있었다. 영국에서 장기 체류할 때 대중교통이 불편하여 자전거 가게에서 자전거를 산 적이 있었다. 그리고 가게에서 나와 새 자전거를 타고 찻길까지 넓은 인도를 대각선으로 약 20미터 정도 가로질러 가는데, 갑자기 어떤 신사가 소리를 지르며 뛰어왔다. 불과 몇 초라고 할지라도 자전거는 찻길로 다녀야 하는데 왜 인도로 다니느냐며 저자의 행동을 지적한 것이었다. 이처럼 지적하는 문화가 강한 나라에서 자란 사람들은 평소 정확성을 추구할 수밖에 없는데 우리는 이런 부분이 부족하다는 것이다. 제2부에서는 고대 그리스와 아라비아로부터 이어져 오는 수학과 논리학의 역사를 소개하는 한편, 논리적 사고법의 아주 기초적인 부분에 관해 이야기한다. 또한 논리에서 역사적으로 중요하고 유명한 다섯 가지 패러독스도 소개한다. 그 패러독스들 중 2개만 예를 들어보자. 먼저 제논의 페러독스다. 이 패러독스에서는 제논이 ‘어떤 물질이 운동하는 것은 우리의 환상일 뿐 실은 (매 순간) 멈춰 있는 것이다’라고 주장하며 제시했는데, 달리기 이야기로 그 패러독스를 설명해보자. 올림피우스가 달리기할 때, 그는 결승점까지 거리의 중간 지점을 지나야 하고, 그 다음에는 나머지 거리의 중간 지점을 지나야 하고, 또 그 다음에는 그 나머지 거리의 중간 지점을 지나야 하는 과정을 계속해서 반복해야 한다. 따라서 올림피우스는 결승점에 가까워지긴 하지만 결승점에 이르지는 못한다. 이 패러독스는 결승점까지 남은 거리의 중간 지점까지 도달하는 과정을 ‘무한히’ 반복해야 결승점에 도달할 수 있는데 ‘유한한’ 횟수의 과정만 살펴보고는 결국 도달할 수 없다는 결론을 지은 것이다. 결국 ‘유한적 사고로 무한적 현상을 설명하려고 한 것’ 때문에 생긴 오류다. 다음은 러셀의 패러독스다. 러셀의 패러독스를 설명하고자 드는 예 가운데 가장 유명한 예는 ‘이발사의 패러독스’이다. 어느 마을에 이발사가 있다. 그 이발사가 “나는 스스로 수염을 깎지 않는 모든 마을 사람의 수염을 깎는다”라고 말했다. 그럼 그 이발사 자신의 수염은 누가 깎을까? (ⅰ) 스스로 깎는다면, 스스로 깎지 않는 사람만을 깎는다는 사실에 모순이 되고, (ⅱ) 스스로 깍지 않는다면, 스스로 깎지 않는 모든 사람을 깎아준다는 말에 모순이 된다. 러셀의 패러독스처럼 자기 자신에 대한 부정적 언급으로부터 모순이 발생하는 예로는 ‘거짓말쟁이 패러독스’가 있다. 고대 그리스의 철학자이자 시인인 에피메니데스는 다음과 같이 말했다고 한다. “모든 크레타섬 사람은 거짓말쟁이다.” 그런데 문제는 이 말을 한 에피메니데스 자신이 크레타섬 사람이라는 것이다. 그러면 에피메니데스가 한 이 말이 맞는 말일까, 아니면 틀린 말일까? 우선 이 단순한 문장을 다음과 같이 좀 더 분명하게 다듬는 과정이 필요하다. 그러니까 이 말을 “모든 크레타섬 사람이 하는 말은 모두 틀린 말이다”라고 바꾸어 생각해보자. 그러면 이 말은 맞는 말일 수가 ...
  • 시작하며 1부 왜 논리인가 01 논리와 친해지기 논리는 머리가 아니라 몸으로 익히는 것 / 논리적 사고의 시작, 인정할 것은 인정하기 / 현대인의 필수 능력, 판단력과 분별력 / 학생들은 미래에 대해 조급해 할 필요가 없다 02 정확함이라는 미덕 가르친다는 사람, 가르킨다는 사람 / 우리말의 어려움 / 한자어로 인한 어려움 03 따지기와 지적하기 따지는 것과 친해지기 / 지적문화 / 주변에서 마주하는 사소한 불합리들 제2부 논리적 사고 04 논리학의 기본 그리스와 아라비아의 수학과 논리학 / 명제와 논증 / 논리의 시작은 ‘모든’과 ‘어떤’ 05 학교에서 배우는 논리와 수학 학교에서 집합을 안 배워요 / 수학은 원래 어렵다 / 새로운 개념 받아들이기 / 토론을 잘 하려면 06 논리학과 수학 논리학, 집합론, 수학기초론 / 기호의 힘 / 논리적 사고의 예 07 패러독스 이야기 제논의 패러독스 / 러셀의 패러독스 / 베리의 패러독스 / 상트페테르부르크 패러독스 / 바나흐·타르스키 패러독스 08 여섯 가지 유형의 오류 성급한 일반화의 오류 / 이분법적 논리의 오류 / 필요조건, 충분조건의 혼동에 의한 오류 / 잘못된 가정에 의한 오류 / 확증편향의 오류 / ...
  • 논리와 합리는 ‘인정할 것은 인정하는 것’에서 출발한다. 사실을 사실로 받아들이는 태도, 누군가가 맞는 말을 하면 그것을 인정하는 태도가 필요하다. 눈앞에 벌어진 상황이 자기에게 불리하더라도 인정할 것은 인정하는 태도와 자신의 과오가 있을 때 그것을 변명하지 않고 시인하는 태도가 필요하다. 불합리한 판단이나 언행은 주로 이런 기본이 잘 지켜지지 않을 때 발생한다. 논리적 사고력이 수학처럼 반복연습으로 향상하는 것과 마찬가지로 옳은 것을 인정하고 수용하는 태도도 습관화와 연습의 결과로 길러질 수 있다. 토론할 때 상대방의 말이 맞고 반박할 여지가 없는데도 그 말을 인정하지 않는 사람이 많다. 그러나 자신이 토론에서 좋은 평가를 받고 싶다면 인정할 것은 인정하는 태도를 보여야 한다. 어떤 사람이 맞는 말을 하더라도 결론적인 의견이 자기 의견과 다르면 “그 사람이 말은 잘해”라고 하면서 그 사람의 의견을 인정하지 않으려고 하는 경우가 많다. 우리나라에는 말을 잘하는 사람을 별로 좋아하지 않는 경향이 있다. 미국에서는 말을 잘하는 사람을 높이 평가하지만, 우리나라에서는 그다지 높이 평가하지 않는다. 이런 점에서 두 나라의 문화는 제법 차이가 큰 편이다. -제1부 〈왜 논리인가?〉 24~25p 중에서 논리학은 추론과 논증의 과정과 방법론을 연구하는 학문이다. 논증이란 어떤 것이 참인지 거짓인지를 기존의 지식에 의거하여 판정하는 과정이다. 명제란 참과 거짓을 판정할 수 있는 ‘객관성을 갖는’ 문장을 말한다. 추론이란 어떠한 명제나 판단을 근거로 삼아 다른 명제나 판단을 이끌어 내는 것을 말한다. 논리학에서는 논증이라는 과정을 통해 명제 또는 추론이 참인지 거짓인지를 판정한다. 명제의 참, 거짓을 따지는 고전적인 명제논리학(혹은 문장논리학)을 기호의 사용과 더불어 프레게 등이 개척했고, 이를 술어논리학predicate logic이라고 부른다. 어떤 문장을 서술하거나 그 문장 내용의 진실 여부를 판정할 때 ‘논리기호’를 사용하면 편리하므로 현대논리학에서는 기호를 본격적으로 사용한다. 그래서 그런 새로운 술어논리학을 기호논리학이라고 부르기도 한다. 기호논리학의 기호 사용법을 모두 소개하기에는 과다할 수 있으니 여기서는 핵심적인 기호 몇 개만 소개하고자 한다. 이 기호들은 순수한 수학적 문장에서도 자주 등장하는데, 이것들을 사용할 때는 영어(유럽어) 문법으로 표현하는 것이 한국어 문법으로 표현하는 것보다 더 편할 때가 많다. -제2부 〈논리적 사고〉 82~83p 중에서 수학에서 언어적인 의미를 잘 이해하지 못해 오해가 생기는 예도 하나 들어보자. ‘각의 삼등분 작도 문제’라는 유명한 문제가 있다. 이 문제는 프랑스의 피에르 방첼Pierre Wantzel이 1837년에 작도할 방법이 없음을 보여 이미 끝난 문제인데, 아직도 이 문제를 풀겠다는 사람이 많다. 의외로 많은 사람이 자와 컴퍼스만으로 임의의 각을 삼등분하는 방법을 찾아 나서거나 자신이 이미 찾았다고 주장하는 것이다. 이는 그들이 “삼등분하는 방법이 존재하지 않는다”라는 말과 “삼등분하는 방법을 찾지 못한다”라는 말의 의미에 어떤 차이가 있는지를 이해하지 못해서 발생하는 해프닝이다. 나는 지금까지 두 명의 이공계 대학교수에게서 자신이 삼등분 작도 문제를 풀었으니 검토해달라는 이메일을 받은 적이 있다. 외국에도 그런 사람이 많아 그들을 트라이섹터trisector라고 부른다. 예전에 한 사람이 원주율 ??의 작도법을 자신이 찾았다고 주장하면서 서울대 수학과 교수들을 쫓아다니며 괴롭히다가 교수들이 응대해주지 않자 스스로 거금의 광고비를 들여 주요 일간지...
  • 송용진 [저]
  • 서울대 수학과에서 이학사를 받고, 오하이오 주립대에서 위상수학 분야 이학박사를 받았다. 1991년부터 인하대 수학과 교수로 재직 중이다. 오랫동안 대한수학회 한국수학올림피아드 위원장으로 일했고 국제수학올림피아드 위원(IMO Board Member)으로 활동하고 있다. 1995년부터 20여 년간 국제수학올림피아드 한국대표단 단장 또는 부단장을 맡으며 대한민국이 두 차례 1등을 거머쥐는 데 기여했다. 30여 년간 풀리지 않던 해러(Hare)의 추측 문제를 해결한 연구 성과와 수학 영재교육에 헌신한 공로 등을 인정받아 과학기술훈장 혁신장, 서울시 문화상을 받았다. 수학 영재를 발굴해 지도하고 수학교육을 연구하며 우리나라의 수학 발전에 기여하기 위해 노력하고 있다.
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