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“셜록 홈즈처럼 읽히는 수학책이라니!” 꼬리에 꼬리를 무는 수학 이야기 홀린 듯 따라가다 보면, 복잡하게만 보이던 세상의 수수께끼가 명쾌하게 풀려 있다 세상 모든 것을 수학으로 설명할 수 있다고 말하는 이 책은, 심지어 그 설명을 아주 재미나게 해낸다. 집 뒷마당 달팽이 수를 세는 일에서부터 괜찮은 식당을 고르는 알고리듬, 암 양성 판정이 틀릴 가능성, 확률을 오용해 살인 누명을 씌운 법정의 오심, 병실의 거짓 경보를 줄이거나 전염병을 통제하는 방법에 이르기까지…. 세상 모든 장소 모든 순간을 종횡무진하며 우리가 그동안 알아차리지 못했던 수학을 발견하고, 수학적 접근법에 따라 그 답이 완전히 달라지는 문제들을 입체적으로 풀어나간다. 『수학으로 생각하는 힘』은 맨부커상 수상 작가인 이언 매큐언을 비롯해 과학 분야 스타 작가들이 ‘차세대 수학 스토리텔러’로 주목하는 수리생물학자 키트 예이츠의 매력적인 첫 책이다. 김상욱 경희대 물리학과 교수도 “그야말로 수학 알쓸신잡이다, 너무 재밌다”며 적극 추천했다. 저자는 (방정식 한 번 등장시키지 않고도) 수학을 통해 세상이 돌아가는 숨은 패턴을 읽어내는 흥미로운 지적 탐험으로 독자를 안내한다.

“우리는 수학한다, 고로 존재한다” 수학은 일상의 기쁨과 슬픔을 좌우하는 요소이자, 어쩌면 삶과 죽음을 가르는 결정적 문제 ★★★ 수학자 김민형 X 물리학자 김상욱 X 소설가 이언 매큐언… 강력 추천! “이것이 바로 현실 수학! 세상이 이토록 수학적임을 깨닫는 강렬한 여정으로 안내하는 책” 〉〉 암 양성 판정에도 침착할 수 있도록 돕는 수학? ; 일단 심호흡을 하고, 이 검사의 정확도를 계산해보자 유방암 선별검사 결과, 양성 판정을 받았다. 이 선별검사는 ‘암에 걸린 경우와 그 반대 경우에서, 열에 아홉을 정확하게 구별해낸다’고 한다. 암일 확률이 90%라고?! 충격과 공포로 주저앉기 전에 잠시 수학적으로 접근해보면 도움이 된다. 사실상, 간단한 수학적 논증을 거치면, 이 선별검사에서 받은 양성 판정은 유방암이 아닐 가능성이 압도적으로 높기 때문이다. 평균 발병률 0.4%의 조건에서 50대 여성 1만 명이 이 선별검사를 받았다고 치자. 1만 명 가운데 40명은 유방암이고, 9960명은 아니다. 유방암인 40명 가운데 참 양성은 90%인 36명이다. 문제는 유방암이 아닌 9960명 가운데 10%인 996명이 거짓 양성을 판정받는 데 있다. 양성 판정을 받은 1032명 가운데 36명만이 진짜 암인 것이다. ‘열에 아홉을 정확하게 구별해내는’ 이 검사의 정확도는 3.48%에 불과한 것이다. 검사의 정밀도를 높이는 아주 단순한 방법이 있는데, 바로 두 번째 검사를 받는 것이다. 많은 질병에 있어서 첫 번째 검사는 대개 특이도가 낮은(거짓 양성이 많이 나오는) 선별검사로 진행된다. 값싼 비용으로 잠재적 환자를 최대한 많이 발견하도록 설계하기 때문이다. 두 번째 검사는 대개 진단검사인데, 특이도가 훨씬 높아 거짓 양성 대다수를 걸러낸다. 같은 맥락에서, 유방암 선별검사를 매년 받으면, 아무 이상 없는 사람도 평생 한번쯤은 (거짓) 양성 판정을 받을 가능성이 매우 높아진다. 자, 이제 좀 진정이 되는가? 수학의 방에 들어갔다 나온 당신은 훨씬 담담하게 두 번째 검사를 위한 예약 전화를 걸고 있을 것이다. 좋든 싫든 거짓 양성과 거짓 음성은 피할 수 없다. 현대 기술이 필터링 같은 도구로 일부 문제를 처리하는 데 도움을 줄 수 있지만, 판단과 선택에 관한 문제는 우리 스스로 배워야 한다. 즉, 의심(수학)의 눈으로 검사 결과를 따져봐야 한다. 검사 결과를 완전히 무시할 수는 없지만, 불필요한 불면의 밤을 보내는 일은 피할 수 있다. 덧붙이자면, 더 정확한 검사가 없을 때라도, 동일한 검사를 한 번 더 받는 것으로 결과의 정밀도를 크게 높일 수 있다. (민감도와 특이도와 필터링에 관해서 이 책의 2장을 읽어보자.) 〉〉 꼬리에 꼬리를 물며 최적 경로로 연결하는 수학 토크쇼! “셜록 홈즈처럼 읽히는 수학책이라니!” (수학자 스티븐 스트로가츠) “알아두면 쓸데있는 신비한 수학 잡학 사전이다” (물리학자 김상욱) “나처럼 수학에 약한 사람도 푹 빠져들어 읽을 수 있다” (소설가 이언 매큐언) 『수학으로 생각하는 힘』은 우리가 사실상 수학 속에서 살아가고 있음을 생생하게 보여주고, 수학의 안경을 건네주어 좀 덜 틀리며 살아가는 법을 알려주는 책이다. 이 책에는 방정식이 전혀 등장하지 않을뿐더러, 미분이나 적분이니 하는 어려운 수학 개념어도 등장하지 않는다. 대신, 이야기가 가득하다. 꼬리에 꼬리를 물고 이어지는 이야기들은 다방면의 주제와 분야를 종횡무진하며, 수학에서 출발하여 세상 문제를 통찰하는(혹은 그 반대 경로의) 지적 탐험으로 독자를 안내한다. 저자는 수학의 응용(또는 오용)이 결정적 원인이 되어 사람들의 운명을 확 바꾸어놓은... 실제 사건들을 엮어서 들려준다. ‘타고난 이야기꾼’ ‘차세대 수학 스토리텔러’로 주목받는 응용수학자답게, 문제에서 해결로 나아가는 실마리가 되는 주제들을 적재적소에 끌어와 흥미롭게 연결하고 뒤섞는다. 여기에는 에이즈 (거짓) 양성 판정을 받고 지옥 문턱까지 다녀온 사람, 잘못된 알고리듬 때문에 파산한 기업가, 악의적 확률 해석 탓에 두 자녀 살해 누명을 쓴 엄마, 기하급수적 증감을 몰라 큰 재산을 날린 투자자, 시원찮은 로마의 수 체계와 전 세계가 채택한 12진법 시간 체계 등이 등장한다. 통계적 속임수에 관련된 윤리적 딜레마도 다루고, 선거와 팬데믹, 혐오, 인공지능 등 사회적 쟁점과 얽힌 수학도 살펴본다. 이 책은 세상 모든 주제에 관해 수학이 알려줄 것이 아주 많다는 사실을 자연스럽게 납득시킨다. 나아가 이 책은 쉽고 단순한 수학 규칙과 도구로 우리를 무장시켜준다. 괜찮은 식당을 선택할 가능성을 최대화하는 방법에서, 의사에게서 뜻밖의 진단 결과를 들었을 때 침착함을 잃지 않는 방법, 신문 헤드라인이 숫자 뒤에 감추고 있는 진실을 해독하는 방법에 이르기까지 크고 작은 삶의 힌트를 터득하게 될 것이다. 또한 커튼 뒤에 숨어 우리 일상을 좌지우지하는 기업의 알고리듬이 어떤 원리인지 따져보고, 치명적 질병의 확산을 막기 위해 취하는 조치에 수학이 어떤 역할을 하는지도 살펴볼 것이다. 이는 삶의 무기까지는 아닐지라도 방패는 거뜬히 되어준다. 반드시 이기는 것보다 틀리지 않는 편을 택하는 게 살아가는 데 있어 더 나을 수 있음을 보여주는 ‘최적화와 탐욕 알고리듬’에 관한 이야기가 6장에 등장하니 꼭 읽어보자. 최고의 방법을 도출하기 위해 다음 생까지 기다릴 수는 없는 노릇이니까. 〉〉 세상 만사의 패턴을 읽어내는 7가지 지적 탐험 ; 밈이 퍼지는 방식에서 전염병 통제에 이르기까지 빅데이터 시대의 새로운 언어, 수학으로 생각하라 이 책은 모두 일곱 장으로 구성되었다. 1장 〈눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상〉에서는 기하급수적 변화의 위력과 한계를 다룬다. 인터넷에서 밈이 확산하는 방식, 배아가 급격하게 성장하는 방식, 은행에 넣어둔 돈이 아주 느리게 불어나는 방식, 나이 들수록 시간이 더 빨리 흐르는 듯한 인식 등 일상적 현상에서 기하급수적 감각의 필요를 살핀다. 2장 〈암 진단을 받고도 침착을 유지하려면〉에서는 개인 유전자 검사나 각종 질병 선별검사, 비만 검사 등이 얼마나 정확한 동시에 부정확할 수 있는지를 살피며, 의학적 판단에 수학적 기준을 이용하는 일의 딜레마를 검토해본다. 3장 〈수학으로 만들어낸 유죄〉는 추리 소설처럼 흥미로운 한편 섬뜩한 법정에 선 수학 이야기가 펼쳐진다. 두 아이의 살해 혐의로 유죄를 받은 한 여성의 억울한 옥살이는 오류투성이 확률을 법정으로 끌어들인 탓이요, 수학에 대한 두려움이 사람들의 눈을 멀게 만든 탓이다. 여성은 상고 끝에 무죄로 석방되었고, 이 재판은 영국 사법부 역사상 최악의 오심으로 남았다. 여기서는 생태학적 오류, 검사의 오류, 독립성 가정의 오류 등을 살필 것이다. 4장 〈통계에 속지 않는 법〉은 미디어가 수학을 이용해 교묘하게 사실을 왜곡하는 방식에 관해 살펴본다. 상대적 수치를 썼을 때 일어나는 편향, 통계 수치를 교란하는 평균으로의 회귀 등을 감지할 수 있어야 한다. 5장 〈잘못된 자리와 잘못된 시간〉은 수 체계에 관한 재미난 에피소드들을 잔뜩 전해준다. 영국 도량형 탓에 일어난 크고 작은 사건들에서부터, 고대 문명에서부터 수 체계가 발달해온 과정과 그것이 우리 사고 체계에 미치는 영향을 흥미롭게 설파한다. 아이들이 몇이든 전쟁을 피하려면 간식은 12개들이로 사는 게 가장 좋다는 노하우는 덤. 6장 〈도무지 끝나지 않는 최적화〉에서는 구글 내비게이션이나 아마존 배송 경로와 같이 일상생활에서 만나는 알고리듬 최적화 사례들 뒤에 숨은 수학을 살펴본다. 자연에서 가장 유명한 알고리듬인 진화가 완벽이 아닌 맹목에 더 가까운 탐색을 한다는 사실은 우리에게 많은 것을 시사한다. 7장 〈팬데믹 시대, 수학은 어떻게 무기가 되는가〉에서는 마침맞게도 수리역학을 다루는데, 코로나19 시대를 예견한 듯한 통찰이 가득하다. 전염병에 걸렸을 때 집에서 쉬는 것이 실제 질병 확산을 막고 본인도 감염군에서 더 빨리 탈출할 수 있음을 수학적으로 확인해줌으로써, 기업들이 병가 정책에 꼭 반영해야 할 기준을 제시한다.

들어가며) 알고 보면 수학으로 이루어진 세상 1장 눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상 ; 기하급수적 변화의 가공할 위력과 한계 우유는 왜 이렇게 빨리 상할까? 다단계 사기의 수학 일주일 동안 16배 성장하는 태아 세상을 파괴할 수 있는 힘 체르노빌에서 벌어진 일 기하급수적 감소와 연대 측정 과학 어째서 다들 얼음물을 뒤집어쓰고 있지? 미래는 기하급수적인가 인구 폭발과 지구의 수용 능력 나이 들수록 시간이 쏜살같이 흐른다 2장 암 진단을 받고도 침착을 유지하려면 ; 민감도와 특이도와 이차 의견 이해하기 개인 유전자 검사를 해보다 비만을 측정하는 공식 생사를 좌우하는 ‘신의 방정식’ 병실에서 거짓 경보를 줄이는 방법 내가 받은 양성 판정이 틀릴 가능성 확실성의 착각에 유의하라 두 번의 검사가 낫다 3장 수학으로 만들어낸 유죄 ; 확률을 함부로 법정에 세우면 안 되는 이유 드레퓌스 사건의 엉터리 논증 무죄가 입증되기 전까지는 유죄? 7300만분의 1의 가능성 종속 사건과 독립 사건 생태학적 오류 검사의 오류 주사위를 던져보자 수학은 어떻게 우리 눈을 멀게 하는가 4장 통계에 속지 않는 법 ; 맥락의 공...

응용수학자인 나는 수학이 무엇보다도 복잡한 세계를 이해하는 실용적 도구라고 생각한다. 수학 모형은 일상적인 상황을 이해하는 데 큰 도움을 주며, 반드시 수백 개의 방정식이나 수많은 행의 컴퓨터 코드가 필요한 것은 아니다. 가장 기본적인 수준에서 볼 때, 수학은 패턴이라고 말할 수 있다. 주변 세계를 바라볼 때마다 우리는 자신이 관찰한 패턴의 모형을 만든다. 나무의 프랙털 가지나 눈송이의 다중 대칭에서 어떤 모티프를 발견했다면, 그것은 바로 수학을 본 것이다. 음악을 들으면서 발로 바닥을 탁탁 치며 박자를 맞추거나 샤워를 하면서 흥얼거리는 목소리가 울려 공명을 일으킬 때 우리가 듣는 소리도 바로 수학이다. 공을 감아차 그물을 흔들거나 포물선 궤적을 그리며 날아오는 크리켓 공을 붙잡을 때에도 우리는 수학을 한다. 새로운 경험을 할 때마다, 새로운 감각 정보를 얻을 때마다 우리가 만든 주변 환경 모형은 개선되고 변경되고 더 자세해지고 복잡해진다. 복잡한 현실을 파악할 수 있도록 설계된 수학 모형 만들기는 주변 세계를 지배하는 규칙을 이해하는 최선의 방법이다. _15쪽, 〈들어가며〉에서 이익을 실현하려면 더 많은 투자자를 끌어들여야 하는 다단계 사업은 결국은 망하게 돼 있다. 각 단계에 필요한 새로운 투자자 수는 이미 가입한 사람 수에 비례해 증가한다. 이런 종류의 다단계 사업에서는 15단계가 지나면 가입자 수가 1만 명을 넘어선다. 이것은 꽤 많은 수처럼 보이지만, 기브 앤드 테이크는 이 단계를 쉽게 넘어섰다. 그러나 여기서 15단계를 지나가면, 이제 지구에 사는 사람 7명 중 1명이 가입해야 다단계 사업을 계속 이어갈 수 있다. 결국 새로운 가입자 유입 중단에 맞닥뜨릴 수밖에 없는 이 급격한 증가 현상을 기하급수적(또는 지수함수적) 증가라 부른다. _25쪽, , 〈1장 눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상〉에서 방사성 원자의 수가 기하급수적으로 감소하는 현상은 방사능 수준으로 물질의 연대를 알아내는 방법인 방사성 연대 측정법의 기초를 이룬다. 자연 속에 존재하는 특정 방사성 원자의 비율을 붕괴 산물에 포함된 그 방사성 원자의 비율과 비교하면, 방사선을 방출하는 물질의 나이를 이론적으로 계산할 수 있다. 방사성 연대 측정법은 지구의 나이를 추정하거나 사해 문서 같은 고대 유물의 나이를 측정하는 것을 포함해 많은 곳에 쓰인다. 2017년 11월, 방사성 탄소 연대 측정법을 사용해 세상에서 가장 비싼 위스키가 가짜라는 사실을 밝혀냈다. 라벨에 130년 된 매캘런 싱글 몰트라고 표시된 위스키가 실은 1970년대에 제조된 값싼 블렌디드 위스키로 밝혀져 그것을 한 잔에 1만 달러에 팔던 스위스 호텔은 큰 창피를 당했다. 2018년 12월, 후속 조사에서는 검사한 전체 ‘빈티지’ 스카치위스키 중 3분의 1 이상이 가짜라는 사실이 밝혀졌다. _46쪽, 〈1장 눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상〉에서 만약 어떤 기간의 시간을 지금까지 살아온 시간에 대한 비율로 판단한다면, 지각된 시간의 기하급수적 증가 모형이 이치에 닿아 보인다. 34세인 나에게 1년은 지금까지 살아온 생애의 3% 미만에 해당한다. 요즘 들어 내 생일은 너무 빨리 돌아오는 것처럼 느껴진다. 그러나 열 살 꼬마는 다음번 생일 선물을 받을 때까지 살아온 생애의 10%를 기다려야 하며, 그러려면 거의 성인에 가까운 인내가 필요하다. 네 살인 내 아들이 생일을 다시 맞이하려면 지금까지 살아온 생애의 4분의 1을 더 기다려야 하는데, 그것은 참을 수 없는 일처럼 보인다. 이 기하급수적 모형에서 네 살 꼬마가 다음 생일이 될 때까지 경험하는 시간은 40세인 사람이 50세가 ...될 때까지 기다리는 시간과 맞먹는다. 이러한 상대적 관점에서 바라보면, 나이가 들수록 시간이 가속되는 느낌이 드는 것은 충분히 이치에 닿는다. _63쪽, 〈1장 눈 깜짝할 사이에 변해버린 세상〉에서 신의 방정식은 어떤 의약품이 환자에게 제공하는 여분의 ‘건강 혜택’을 저울 한쪽에, 그리고 국가보건서비스가 지불해야 하는 여분의 비용을 반대쪽에 올려놓고 비교한다. 여분의 건강 혜택을 평가하기는 어렵다. 예를 들어 심장병 발병을 감소시키는 의약품의 이점과 암 환자의 생명을 연장시키는 의약품의 이점을 어떻게 비교할 수 있겠는가? (중략) ‘신의 방정식’은 삶과 죽음이 달린 어려운 결정을 우리의 주관적인 손에서 떼어내 객관적인 수학 공식의 통제를 받게 하려는 시도로 볼 수 있다. 이 관점은 수학의 공평무사함과 객관성을 강조하는 듯이 보이지만, 의사 결정 과정의 초기 단계에서 삶의 질과 비용 효과 문턱값에 대한 판단 뒤에 숨어서 작용하는 주관적 결정을 무시한다. _89-90쪽, 〈2장 암 진단을 받고도 침착을 유지하려면〉에서 1960년대와 1970년대에 임신 기간에 흡연을 한 어머니가 낳은 아이들에게서 흥미로운 현상이 관찰되었다. 흡연을 한 어머니에게서 태어난 저체중아들은 흡연을 하지 않은 어머니에게서 태어난 저체중아들보다 1년 안에 사망하는 비율이 현저히 낮았다. 낮은 출생체중은 오랫동안 높은 영아 사망률과 연관이 있다고 알려졌지만, 임신 기간의 흡연은 저체중아에게 어떤 보호를 제공하는 것처럼 보였다. 그러나 사실은 전혀 그런 것이 아니었다. 이 역설의 답은 교란 변수에 있었다. 낮은 출생체중은 높은 영아 사망률과 ‘상관관계’가 있지만, 높은 영아 사망률의 ‘원인’은 아니다. 일반적으로 이 두 가지는 다른 부정적 조건, 즉 교란 변수가 원인이 되어 나타날 수 있다. 흡연과 그 밖의 부정적 건강 조건은 출생체중을 낮추고 영아 사망률을 높일 수 있지만, 그 정도가 서로 다르다. 흡연은 그러지 않았더라면 건강하게 태어났을 많은 아이를 저체중으로 태어나게 한다. 낮은 출생체중을 초래하는 다른 원인들은 보통 아이의 건강에 더 해로우며, 그래서 영아 사망률을 더 높인다. 흡연한 어머니에게서 태어나는 아이들은 저체중아 비율이 훨씬 높은 데다가 영아 사망률이 조금 높아지는 데 그치기 때문에, 이 아이들이 1년 안에 사망하는 비율은 더 위험한 조건 때문에 저체중으로 태어난 아이들보다 낮을 수밖에 없다. _142쪽, 〈3장 수학으로 만들어낸 유죄〉에서 2008년 미국 대통령 선거 과정에서 존 매케인 이 출마 선언을 한 직후, 구글은 그가 구상하는 정책에 관한 연설을 해달라고 초대했다. 그 당시 구글의 CEO 에릭 슈미트는 매케인에게 대통령 선거에 출마하는 것은 구글에서 면접을 보는 것과 매우 비슷하다며, 진짜로 구글에서 면접을 볼 때 나오는 질문을 던졌다. “32비트 정수 100만 개를 2메가바이트 RAM으로 정렬하는 방법이 좋은 것인지 아닌지 어떻게 판단하겠습니까?” 매케인은 당혹스러운 표정을 지었고, 이를 충분히 즐긴 슈미트는 곧 다음번의 진지한 질문으로 넘어갔다. 6개월 뒤, 버락 오바마를 구글에 초대했을 때, 슈미트는 똑같은 질문을 던졌다. 오바마는 청중 쪽을 바라보면서 눈을 비비고는 “음, 그러니까…….”라고 말문을 열었다. 오바마가 당황해한다는 것을 눈치챈 슈미트는 거기서 끼어들려고 했지만, 오바마는 슈미트의 눈을 똑바로 보면서 “……아니지요, 아니에요. 나는 거품 정렬은 올바른 방법이 아니라고 생각합니다.”라고 말을 이어갔다. 청중 속에 섞여 있던 컴퓨터과학자들에게서 박수와 환호가 터져나왔다. 오바마에게서 나온 예상 밖의 박식한 대답-정렬 알고리듬의 비효율성에 대한 내부적 농담을 공유하면서-은 겉보기에 아주 자연스럽게 분출되는 것처럼 보이는 카리스마(세심한 준비로 뒷받침된)의 특징으로, 이런 카리스마는 선거 유세 내내 오바마의 특색이 되었으며, 결국 그를 거품처럼 솟아오르게 해 백악관으로 보냈다. _271쪽, 〈6장 도무지 끝나지 않는 최적화〉에서 더 넓은 범위에서는 수리역학이 질병의 돌발 발병에 대처하는 전략과 그것을 피할 수 있는 예방 조치를 제시한다. 수리역학은 신뢰할 수 있는 과학적 증거와 손을 잡고 백신 접종이 쉬운 결정임을 입증한다. 백신 접종은 우리 자신을 보호할 뿐만 아니라, 가족과 친구와 이웃과 동료까지 보호한다. 세계보건기구가 발표하는 수치는 백신이 해마다 수백만 명의 목숨을 구하며, 만약 전 세계에서 백신 접종을 받는 사람의 수를 늘리면 수백만 명을 더 구할 수 있다는 것을 보여준다. 백신은 치명적인 질병의 발병을 막을 수 있는 최선의 방법이자 그 파괴적인 효과를 영원히 끝낼 유일한 기회이다. 수리역학은 미래를 위한 희망의 불꽃이자 이 엄청난 과제를 해결할 비법을 열어줄 열쇠이다. _351쪽, 〈7장 팬데믹 시대, 수학은 어떻게 무기가 되는가〉에서

키트 예이츠 [저]

이충호 [저]

서울대학교 사범대학 화학과를 졸업하고, 영문학을 부전공했다. 현재 과학 전문 번역가로 활동하고 있으며, 2001년 우수 과학 도서 번역상과 제20회 한국 과학 기술 도서 번역상을 받았다. 지은 책으로는 '블랙홀 여행', '과학의 슈퍼스타 20'이 있으며 옮긴 책으로는 '말랑하고 쫀득한 과학 이야기', '말랑하고 쫀득한 세계사 이야기', '물리가 뭐야?', '화학이 뭐야?', '신의 괴물', '이야기 파라독스', '와인 전쟁', '놀라운 하늘', '1001마리 개미', 진화심리학', '천개의 뇌' 외 다수가 있다.