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내신부터 수능까지 수학의 기본을 튼튼히 다져줄 책! “시험 전에 항상 수학문제집을 열심히 푸는 데도 왜 점수가 80점대밖에 안 나오는 걸까?” 이런 풀리지 않는 고민을 가지고 있는 학생이라면 꼭 봐야 할 수학 책이 나왔다. 지금은 장학사로서 재직하고 있는 배수경 선생님은 20년간 중고등학교 수학교사이자, 13년간 EBS 중학 수학 대표 강사로 활동하며 우리가 살아가는 데 수학이 왜 필요한지를 학생들이 느낄 수 있도록 가르쳐왔다. 나소연 선생님은 경기도 교육청 소속 현직 수학교사로, 재미있고 즐거운 수학 수업을 모토로 더 많은 학생들이 수학과 가까워질 수 있도록 수업하고 있다. 두 선생님이 합심하여 내놓은 수학의 개념서가 바로 『핵심만 쏙쏙 짚어내는 1일 1페이지 수학 365』다. 두 수학 선생님은 흔히 학생들이 수학 시험을 위해 문제 푸는 연습에 전력을 다하지만 이 방법은 한계가 있다고 한다. 조금이라도 문제의 유형을 비틀어 변형을 주면 쉽게 틀릴 수 있기 때문이다. 수학 정복에 있어 보다 현명한 방법은 수학 개념을 정확히 이해하는 것이다. 그때야 비로소 진짜 수학 실력이 향상된다. 이 책은 중학교와 고등학교 과정의 수학 개념을 모두 담았다. 1일 1페이지씩 가볍게 읽어나가는 것만으로도 어려운 수학 개념이 머릿속에 정리될 것이다. 수학의 기초가 없어 무엇부터 시작해야 할지 막막한 학생들에게도 도움이 될 책이다. 이 책을 통해 수학이 단순히 입시공부를 위한 하나의 교과과목이 아닌, 우리 일상에서 세상을 읽어내는 멋진 도구라는 사실도 알게 될 것이다. 수학의 내신과 수능, 1일 1페이지로 정복한다! 이 책은 5개의 수학 영역을 다룬다. 1장 ‘수와 연산’에서는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수에 이르기까지 인류가 필요에 의해 점차 발명해온 수들을 총망라했다. 외우기보다 여러 번 읽고 이해하는 방식으로 공부한다면 어렵지 않게 개념들을 익힐 수 있을 것이다. 2장 ‘문자와 식’에서는 방정식, 부등식을 비롯해 대수학에서 다루어지는 각종 개념들을 자세히 소개한다. 이 책을 먼저 읽고 개념을 이해한 후 수학 교과서 등에서 관련 문제를 연계해 푼다면 도움이 될 것이다. 3장 ‘함수’에서는 그래프, 정비례 함수부터 이차함수에 이르기까지 각종 함수를 수준별로 소개한다. 이 장에서는 눈으로만 읽지 말고 반드시 그래프를 직접 그려보면서 공부하길 권한다. 4장 기하에서는 초등학교에서 배우는 삼각형부터 고등학교에서 배우는 원의 방정식까지 다양한 개념을 차근차근 소개한다. 하나의 도형 안에 포함되는 여러 종류의 도형들의 특징을 잘 구분해서 공부하는 것이 좋다. 5장 ‘확률과 통계’에서는 경우의 수, 확률과 다양한 자료의 통계 처리 방법을 담았다. 이 장에서는 개념을 암기하는 것보다 각 개념을 직접 활용해서 자료를 처리해보고 그것의 결과가 의미하는 바를 직접 해석해보는 것이 중요하다. 이 책은 수학 영역에 따라 공부법이 다르다는 것을 세심하게 알려주어 학생들이 제대로 수학을 공부할 수 있도록 돕는다. 보다 효율적이고 효과적으로 수학 실력을 키우고 싶은 학생들이 꼭 읽어야 할 책이다.

지은이의 말 이 책의 활용법 365일 체크 리스트 Part 1. 수와 연산 Part 2. 문자와 식 Part 3. 함수 Part 4. 기하 Part 5. 확률과 통계 해답

온 세상의 만물을 생물과 무생물로 나누는 것과 같이 서로 상반되는 것을 2가지로 나누어 생각하는 논리적 구분법은 이진법과 더불어 컴퓨터가 발달하는 데 있어서 큰 영향을 주었습니다. 이진법에서 사용되는 숫자는 0과 1 달랑 2개뿐이어서 ‘전류의 on-off’, ‘코일의 자기화 방향 전환’에 쉽게 이용할 수 있습니다. 우리가 컴퓨터에 입력하는 정보가 복잡한 회로로 흐를 때 컴퓨터는 정보를 처리하는 회로의 상태를 on 또는 off 2가지 중 하나를 선택하여 처리하게 됩니다. 즉 컴퓨터에 전달된 정보를 이진법의 숫자 0과 1, 2개로 나누어 순식간에 처리하게 되는 것이죠. 결국 이진법은 컴퓨터를 존재하게 하는 힘의 원천이라고 할 수 있답니다. p.23 1, 2, 3, 4,…와 같이 사물의 개수를 셀 때 쓰이는 수를 ‘자연수’라고 합니다. 고대인에게도 자연수라는 개념이 있었을까요? 사물을 셀 때, 대상 하나 하나를 손가락과 짝지어 세거나 뼛조각에 일정한 간격을 두고 한 줄 한 줄 새기며 세었기에 고대인에게도 자연수가 있었다고 할 수 있습니다. 물론 오늘날과 같은 수 체계를 사용하지는 않았지만 시각적인 방법으로 덧셈과 뺄셈도 했습니다. 자연수의 사용은 사물의 양을 세는 것부터 금융업, 무역 등에 이르기까지 우리의 일상생활을 포함해 사회생활과도 매우 밀접한 관계가 있습니다. 그래서 그리스의 피타고라스 학파는 ‘만물의 근원은 수’라고 생각했고 자연수에 특별한 의미를 부여하기도 했습니다. 1은 모든 수의 근원, 2는 여성, 3은 남성, 5는 남성과 여성이 만나는 결혼, 10은 1, 2, 3, 4를 모두 더한 값이기에 신성한 수라고 여겼습니다. p.26 두 수가 ‘서로소(relatively prime)’라는 건 12와 25처럼 두 자연수의 공약수로 1밖에 없음을 뜻합니다. 즉 두 자연수의 최대공약수가 1일 때 두 수는 서로소라고 합니다. 두 수가 서로소인지 아닌지 알아보는 방법은 다음과 같습니다. 우선 두 수를 작은 수들의 곱으로 나타냅니다. 예를 들어 12=2×2×3, 25=5×5처럼 말이죠. 그런 다음 작은 수의 곱에서 같은 숫자가 곱해져 있는지 비교해봅니다. 12의 작은 수들의 곱과 25의 작은 수들의 곱에는 공통으로 곱해진 숫자가 없습니다. 이렇게 공통인 숫자가 없을 때 두 수는 1만을 공약수로 가지게 되므로 두 수의 최대공약수는 1이 됩니다. p.43 소수가 1과 자기 자신, 단 2개의 약수를 가지는 것과 달리 합성수는 1과 자기 자신 외의 약수를 가집니다. 예를 들어 소수 2와 3의 곱으로 나타낼 수 있으므로 6은 합성수입니다. 6은 1과 자기 자신 외에 2와 3이라는 약수도 가집니다. 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20과 같은 작은 수들은 1과 자기 자신 외의 약수를 찾을 수 있어 합성수인 것을 쉽게 확인할 수 있습니다. 하지만 7136341과 같이 큰 수는 약수인 1973 또는 3617을 찾기 어렵기 때문에 이 수가 합성수임을 확인하는 것이 쉽지 않습니다. 약수의 개수로 합성수를 알아채는 방법도 있습니다. 소수는 1과 자기 자신을 약수로 가지므로 약수가 2개이고 합성수는 1과 자기 자신 외의 약수를 가지므로 약수가 3개 이상입니다. p.56 수직선은 직선에 일정한 간격으로 눈금을 표시하고 수를 대응시킨 것입니다. 직선 위에 기준이 되는 원점 O를 잡고, 좌우에 일정한 간격으로 눈금을 표시하고 오른쪽에는 양의 정수를, 왼쪽에는 음의 정수를 차례로 표시합니다. 수직선의 수는 오른쪽으로 갈수록 커지고 왼쪽으로 갈수록 작아지므로 대소 관계를 파악하기에 유용하고 연산을 배울 때도 안성맞춤입니다. 0보다 큰 수를 더할 때는 그 크기만큼 오른쪽으로 이동하고, 0보다 큰 수를 뺄 때는 그 크기만큼 왼...쪽으로 이동합니다. 3에서 5를 뺀다고 하면 수직선의 3의 위치에서 왼쪽으로 5만큼 이동하면 -2에 위치합니다. 즉 3-5의 값은 -2가 됩니다. p.79 복소수는 a+bi로 나타내는 수로 a를 ‘실수부분’, b를 ‘허수부분’이라고 합니다. 물론 여기서 a와 b에는 실수가 들어가야 합니다. 예를 들어 두 실수 2와 -3이 들어간 2-3i는 복소수가 됩니다. 그리고 두 실수 2와 0이 들어간 2+0i=2도 복소수가 됩니다. 즉 실수까지도 포함하는 새로운 수의 영역입니다. 자라 보고 놀란 가슴 솥뚜껑 보고 놀라는 것처럼 수학자들도 데카르트가 허수라는 이름으로 세상에 내놓은 수를 대하는 순간 이 이름만으로도 0과 음수 때문에 고생한 게 생각나서 지레 겁을 먹었다고 합니다. 조금만 덜 무시무시한 이름을 붙였으면 수학자들이 더 빨리 연구하고 더 빨리 사용해 복소수가 더 많이 발전했을지도 모르죠. p.93 ‘사과와 배를 합하면 모두 15개입니다’를 식으로 나타낼 때 사과의 개수를 x, 배의 개수를 y라고 하면 x+y=15입니다. 사과의 개수를 7이라고 하면 배의 개수는 전체 15개에서 사과의 개수를 빼서 15-7=8이 되고, 사과의 개수를 10이라고 하면 배의 개수는 15-10=5가 됩니다. 구하려고 하는 배의 개수 y는 사과와 배를 합한 15개에서 사과의 개수를 빼서 구할 수 있습니다. 즉 배의 개수 y는 15-x로 구할 수 있습니다. x+y=15와 같이 여러 가지 문자로 이루어진 등식을 한 문자에 관하여 풀 때 등식의 성질을 이용해 (한 문자)=(다른 문자에 관한 식)으로 변형할 수 있습니다. 이때, x+y=15를 y=15-x로 나타내었다면 좌변의 한 문자가 y이므로 ‘y에 대하여 푼다’고 합니다. p.137 102×98이라는 계산을 암산으로 답할 수 있는 친구, 손! 종이와 연필만 있으면 잘할 수 있다고요? 물론 그럴 겁니다. 하지만 그렇게 계산해도 종종 계산 오류가 나기 쉽습니다. 만약 종이와 연필로 계산하는 것보다 눈만 좀더 크게 떠서 더 빠르고 더 정확한 암산이 가능하다면 어떨까요? 바로 곱셈공식이 이런 일을 가능하게 합니다. 102×98의 경우 102는 100+2로, 98은 100-2로 생각할 수 있습니다. 이 둘을 곱하는 것으로 식을 세우면 (100+2)(100-2)가 되므로 합과 차의 곱셈공식을 이용할 수 있게 됩니다. 부호가 같은 항 100의 제곱에서 부호가 +2와 -2로 다른 항 2의 제곱을 빼면 102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996이므로 102×98=9996입니다. p.144 수에 대한 사칙연산이나 거듭제곱과 같은 기술에서 시작한 대수는 덧셈, 곱셈과 같은 기본 규칙을 만족하는 체계를 가지고 있습니다. 수 대신 문자를 사용하면서 자연스럽게 사용하게 된 다항식을 통해, 대수의 대상이 수에서 다항식까지 확장되면서 다항식의 덧셈과 뺄셈은 수의 연산과 같은 성질을 가집니다. 다항식의 계산은 무엇보다 동류항끼리 모아 간단하게 나타내는 것이 기본입니다. 이때 다항식의 계산을 편리하게 하려면 우선 한 문자에 대해 내림차순이나 오름차순으로 정리를 하는 게 편리합니다. 예를 들어 문자 x만 있는 다항식 3x2+2x-4+x3을 오름차순으로 정리하면 차수가 낮은 상수항부터 높은 항x 3까지 정리해 -4+2x+3x2+x3으로 나타냅니다. p.153 수학자들이 만든 여러 가지 수식에 익숙해질 무렵인 17세기, 천문학에 일대 혁명을 불러일으킨 망원경이 발명되었습니다. 사람들은 맨눈으로 잘 안 보이던 별을 바라보며 너무 신기해했어요. 유심히 별을 관찰하며 기록하고 그 기록들을 꼼꼼하게 따져보다가, 별은 시간에 따라 움직여 몇 년 후에는 다시 제자리에 나타난다는 걸 알게 되었어요. 당연히 사람들은 별이 어떻게 움직이는지 나타내고 싶 어졌답니다. 1년 후에는 별이 어디에 있을지, 10년 후에 다시 제자리에 나타날지 등을 궁금해 하며 별이 지나가는 자리를 그림으로 나타내려고 했어요. 별의 움직임에서 주목할 것은 시간과 별의 위치입니다. 시간에 따른 별의 위치를 수학적 도구로 나타내게 되는데 그것이 바로 그래프입니다. p.182 Leibniz)가 정의했고 함수(funtion)라는 용어도 처음 사용했어요. 그러면 어떤 관계들이 함수 관계가 되는지 살펴볼까요? 어느 음악 사이트에서 음원 하나의 가격이 1000원일 때, 음원 x개를 내려 받고 지불하는 금액을 y원이라고 하면 이 관계는 과연 함수일까요? 음원의 개수에 따라 지불하는 금액이 정해져 있으므로 함수입니다. 그런데 음원의 개수와 지불 금액의 관계는 정비례이기도 하죠? 정비례 관계와 반비례 관계도 x의 값이 변함에 따라 y의 값이 오직 하나씩 정해지므로 함수입니다. 이번에는 자판기에 넣은 돈을 x원, 선택할 수 있는 음료수 종류를 y라고 합시다. 이 경우는 어떨까요? 자판기에 넣은 돈이 1500원일 때 1500원짜리 음료수는 콜라, 사이다, 주스라고 한다면 과연 함수라고 할 수 있을까요? 변수 x인 1500에 대응되는 y의 값이 콜라, 사이다, 주스로 3가지나 되기 때문에 단 하나로 정해지지 않죠. 이런 관계는 함수가 아닙니다. p.192 평행이동은 위-아래와 좌-우 이동의 조합으로 설명할 수 있어요. y=ax2의 그래프의 평행이동 시 좌-우 이동은 y=a(x-p)2을 이용하고, 위-아래 이동은 y=ax2+q의 그래프를 이용하는 것이죠! 먼저 수평방향인 x축의 방향으로 평행이동을 해볼까요? y=x2을 축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프는 y=(x-2)2이에요. 여기서 다시 수직방향인 y축의 방향으로 평행이동을 하면 y=(x-2)2를 y축의 방향으로 3만큼 평행이동하므로 그래프는 y=(x-2)2+3입니다. 이제 y=x2의 그래프와 최종 y=(x-2)2+3의 그래프를 그려 확인해볼까요? 아래로 볼록한 똑같은 모양의 포물선이지만 꼭짓점이 (0, 0)에서 (2, 3)으로 옮겨진 것처럼 다른 모든 점들도 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 이동했어요. 그리고 축의 방정식도 x=0에서 x=2로 바뀌었지요. p.217 말뚝과 긴 밧줄로 어떻게 정사각형을 그릴 수 있었을까요? 먼저 말뚝 2개를 줄로 맨 다음 임의의 점에 말뚝을 박고 줄을 팽팽히 당겨 나머지 말뚝을 건너편 땅에 박아요. 끝점을 표시한 다음, 다시 첫 번째 말뚝을 빼서 끝점에 옮기고 같은 방법으로 줄을 팽팽히 당겨 나머지 말뚝을 또다시 건너편 땅에 박아요. 말뚝의 줄의 길이만큼 두 번 옮겨졌죠? 선분의 길이의 2배를 작도하기 위해 컴퍼스를 두 번 옮긴 것과 같은 거랍니다. 이런 과정을 반복해서 이집트 사람들은 230m나 되는 정사각형의 한 변의 길이를 만든 것이죠. 피라미드 밑면인 정사각형을 만들려면 직각도 필요해요. 정사각형의 한 변을 선분 AB라고 할 때, 선분 AB의 연장선을 긋고 말뚝을 한 번 더 옮겨 점 C를 표시해요. 그다음 선분 BC보다 긴 줄을 묶은 두 말뚝 중 한쪽 말뚝을 점 C에 꽂고 밧줄을 컴퍼스처럼 사용해 반원을 그려요. 그리고 점 D로 한쪽 말뚝을 옮기고 같은 반원을 한 번 더 그려요. 두 반원이 만나는 점 E와 점 B를 연결해요. 그러면 선분 AC와 직선 EB는 서로 수직이에요. p.260 흔히 아기들을 보며 ‘엄마를 똑같이 닮았네’ 라는 말을 합니다. 그럼 과일 통조림캔과 페인트 통도 닮아 보이나요? 비슷해 보인다면 두 입체도형은 닮은 도형일까요? 수학에서 ‘닮은 도형’이란 일상생활에서 일란성 쌍둥이가 닮았다거나, 아이가 부모님을 닮았을 때 ‘닮았다’고 표현하는 것과는 다릅니다. 과일 통조림캔과 페인트 통이 둘 다 원기둥 모양이긴 하지만 통조림캔을 확대했을 때 페인트 통과 합동이 되지 않으므로 닮음 도형이 아닙니다. 입체도형도 평면도형과 마찬가지로 일정한 비율로 확대 또는 축소해 다른 입체도형과 모양과 크기가 같아질 때, 이 두 입체도형은 서로 닮음인 관계에 있다고 합니다. 예를 들어 사면체 ABCD를 2배 확대해 사면체 A´B´C´D´가 되었을 때 두 도형은 닮음비가 1 : 2인 닮은 도형이에요. 이때 면 ABC에 대응하는 면 A´B´C´도 서로 닮은 관계에 있어요. 즉 입체도형의 대응하는 면은 닮은 도형이에요. p. 308 깜깜한 밤하늘을 반짝반짝 수놓는 것은 바로 별입니다. 별은 어두운 밤의 여행자들에게 고마운 지도이기도 하죠. 옛날 사람들은 밤하늘의 별자리들이 어느 위치에서 얼마나 떨어져 있는지 어떻게 알 수 있었을까요? 실제로 별들 사이의 거리를 잴 수는 없지만, 수학 덕분에 그 거리를 계산해 낼 수 있답니다. 고대 천문학자들은 하늘을 하나의 구면으로 여겼어요. 그리고 구면 위에 별의 위치를 표시하려고 했죠. 두 별 A, B 사이의 거리를 구하기 위해서는 호에 대한 현의 길이 AB를 계산해야 했습니다. 이때 사용한 것이 △OAB와 △OCD의 길이의 비였어요. 이렇게 삼각형의 세 변과 세 각 사이의 관계를 연구하고 이를 이용해 삼각형과 관계되는 문제를 해결하는 학문을 ‘삼각법’이라고 해요. p. 348

나소연 [저]

2002 동국대학교 수학교육과를 졸업. 2006 이화여자대학교 교육대학원 수학교육학 석사. 저서로는 '탈레스가 들려준느 닮음 이야기', '비에트가 들려주는 식의 계산 이야기', '해리엇이 들려주는 일차부등식 이야기', '바이어슈트라스가 들려주는 수열의 극한 이야기'가 있으며, 법문사 2010년도 중학교 1학년 교사용 지도서 집필에 참여했다