수학 학습에 있어서 가장 중요한 것은, 종이와 연필을 가지고 문제풀이에 직접 참여하고 깊이 생각하여 풀이를 얻는 과정에서, 왜 그 정의가 필요하며, 그에 따른 정리를 하나씩 이해하는 것입니다. 이런 결과가 이루어질 수 있도록 이 책에서는 기초 정수론의 핵심부분을 모두 한 학기에 다루도록 노력하였으며, 여러 가지 기본적인 방법들을 가급적 빠지지 않도록 노력하였습니다. 따라서 복잡한 증명은 전체적인 흐름을 방해받지 않을 경우 개략적인 증명을 하거나 생략하고 지나갔으며, 혹시 이로 인하여 부족하게 될 사항들은 연습문제를 통하여 확인하도록 하였습니다.
제 1 장 : 정수 5
제 2 장 : 소수와 소인수분해 23
제 3 장 : 디오판타인 방정식 39
제 4 장 : 합동식 51
제 5 장 : 일차합동식 69
제 6 장 : Fermat 소정리 87
제 7 장 : 약수 99
제 8 장 : 완전수 111
제 9 장 : 오일러 함수 127
제 10 장 : 원시근 149
제 11 장 : 이차합동식 163
제 12 장 : 진수변환 187
제 13 장 : decimal(소수) 197
제 14 장 : 피타고라스 삼각형 213
제 15 장 : 제곱수의 합 227
제 16 장 : 연분수와 Pell 방정식 239
제 17 장 : 소수분포 261
제 18 장 : 추가 문제 273
부록 321
참고문헌 327
찾아보기 331
머리말
이 교재는 수학을 전공하는 대학 2학년을 대상으로 ‘정수론’이라는 과목을 강의하기 위하여 만들었다. 그러면서 학부생들이 스스로 학습할 수 있는 교재가 되도록 노력하였다.
정수론은 수학과목 중 오랜 역사를 가진 분야중 하나이며 매우 흥미롭지만, 학생들은 계속되는 정리의 혹독한 증명으로 인해 흥미를 절반으로 줄여서 배우고 있으며, 많은 문제를 풀이할 시간을 갖지 못하여 나머지 흥미의 절반도 잃고 있다.
Albert H. Beiler 의 “Recreations in the Theory of Numbers (1966)”는 정수론에 대하여 광적이다시피 많은 자료를 잘 정리해 놓아서 추천하며, 대부분의 다른 정수론 교재와는 달리 쉽고 재미있으며 많은 문제를 풀이할 수 있도록 하여 본인 생각으로는 이 세상에서 제일 잘된 책으로 강력 추천하는 Underwood Dudley 의 “Elementary Number Theory (1978)”를 목차와 내용을 근거로 이 교재의 골격을 작성하고 있다.
이를 토대로 하여, 추가 자료를 더하여 기초 정수론의 핵심부분을 모두 한 학기에 다루도록 노력하였으며, 여러 가지 기본적인 방법들을 가급적 빠지지 않도록 노력하였다. 따라서 정의 - 정리 - 증명으로 이어지는 지루한 기존의 수학책보다는 복잡한 증명은 전체적인 흐름을 방해받지 않을 경우 개략적으로 하거나 생략하고 지나갔으며, 혹시 이로 인하여 부족하게 될 사항들은 연습문제를 통하여 확인하도록 하였다.
저자에게 정수론 수업을 해 주셨던 New Mexico State University 의 고 Ray Mines 교수님(1938∼2013)과 Fred Richman 교수님(현재 Florida Atlantic University 명예교수)께 감사를 드린다. 그리고 2000년 가을학기에 이 내용을 가지고 수업을 하면서 실험대상이 되었던 금오공과대학교 응용수학과 2학년 학생들에게 고마움과 미안함을 전한다. 그들과 그들 이전에 저자에게 정수론을 들었던 많은 학생들에게 흥미있게 강의하기 위해 이 자료들을 준비하였기 때문이다. 지난 번 강의 자료에서 수식과 내용에 많은 오타와 잘못된 내용을 꼼꼼히 지적해준 학생 중에 특히 졸업생 김정숙 양에게 고마움을 전한다.
정수론에 나타나는 다양한 문제는 본인의 능력과 시간상 생략되었지만, 기본적인 문제풀이와 생각하여 따지는 문제들이 앞으로 첨가되어 점점 새로운 틀을 이뤄나갈 것으로 생각한다. 앞으로도 부족한 나머지를 메우기 위한 작업이 계속 이어질 것이다.
끝으로 이 교재가 출판되도록 많은 힘을 써 주신 이모션북스 김남우사장님과 편집부 직원 여러분의 노고에 감사를 드린다.
2018년 3월 경북 구미에서
조 민 형
조민형 [저]
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