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미적분의 쓸모 : 보통 사람들도 이해하는 새로운 미래의 언어
한화택 ㅣ 더퀘스트
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2022년 05월 21일/ 개정증보판
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248page/158*233*26/622g
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9791165219550/1165219557
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  • “수학이 필요한 이유를 알려준 시리즈” “미적분에 대한 두려움을 떨치게 해준 책” 더욱 풍부해진 사례들과 쉬운 설명으로! 베스트셀러 수학시리즈 《미적분의 쓸모》 증보개정판 출간 청소년은 수학에 대한 두려움을 떨치게 만들고 성인은 다시 수학에 관심을 가지게 만든 베스트셀러 수학시리즈 2편 《미적분의 쓸모》가 증보개정판으로 돌아왔다. 1년 동안 세상은 급변했다. 새로운 배송시대 도래를 견인하는 드론, 민간인 우주여행으로 또 한 번의 도약을 시도하는 우주공학, 끊임없이 가상의 세계를 만들어내는 컴퓨터그래픽 등 세상에서 일어나고 있는 변화들을 더욱 풍부하게 미적분으로 바라보고 풀어냈다. 또한 초판에서 이해하기 어려웠던 몇몇 그림에 관해 보충 설명을 했다. 공학을 전공하지 않은 사람들도 면적계 등을 이해할 수 있기를 바란다. 미적분이 어렵다는 사실은 변하지 않았다. 하지만 이 책을 통해 많은 수포자가 미적분을 비롯한 수학과 친해졌다. 사람들이 생각하는 것과 달리 미적분의 개념만큼은 보통 사람들도 충분히 이해할 수 있다. 미적분방정식을 풀거나 인공지능 프로그램을 만들지 못하더라도 미적분을 활용할 수 있다. 컴퓨터 전공자가 아니라도 컴퓨터를 사용하고, 스마트폰의 구조를 몰라도 스마트폰을 능숙하게 다루는 것과 같은 이치다. 당신도 미적분이 어떻게 활용되는지 풍부하게 풀어낸 이 책을 통해 수학에 대한 두려움을 덜어내길 바란다.
  • 〈겨울왕국〉 〈라이온 킹〉의 전 세계 흥행 비결 뉴턴이 고안하고 과학혁명을 견인한 방정식 인공지능을 학습시키는 최적의 방법 단타 vs 장투, 미적분이 권하는 안전한 투자 전략 미적분이 견인한 새로운 배송시대의 도래 …… 스페이스X, 주식, 기후변화, 드론배송, 인공지능까지 미적분은 어떻게 세상을 움직이고 있는가 “미적분의 본질을 꿰뚫는 책” _최영기, 서울대학교 수학교육과 교수, 《이런 수학은 처음이야》 저자 과거를 적분하면 현재가 보이고 현재를 미분하면 미래가 보인다 세상에 변하지 않는 것은 없다. 행성의 위치나 속도뿐 아니라 사람도 변하고 세월도 변한다. 미적분은 이러한 세상의 변화를 설명하는 언어다. 미적분의 시각으로 보면 첨단 과학기술의 원리부터 자연현상, 사회 변화까지 선명하게 드러난다. 미분으로 세상의 순간적인 변화와 움직임을 포착하고 적분으로 작은 변화들이 누적되어 나타나는 상태를 이해할 수 있다. 예컨대 코로나 19 확진자 발생률을 미적분으로 파악할 수 있다. 일일 확진자는 합쳐지는 양이고 누적 확진자는 합쳐진 결과량이다. 일일 확진자를 모두 합치면 누적 확진자가 되고 누적 확진자의 변화율은 일일 확진자가 된다. 일일 확진자는 하루하루 변동이 심하지만 누적 확진자는 꾸준히 증가한다. 일일 확진자는 증가 속도를 나타내는 미분값에 해당하며, 누적 확진자는 일일 증가분을 적분한 값에 해당한다. 한국에서는 코로나19 일일 확진자 수가 갑자기 증가해 최댓값을 보이다가 2021년 3월 말에 들어서면 일일 확진자 수는 여전히 높은 편이지만 변화 기울기는 완만해진다. 물론 누적 확진자 수가 꾸준히 증가하는 것은 변함이 없다. _Ⅵ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다 적분한 값인 결과량을 통해 현재의 누적 확진자를 파악하고, 미분한 값인 변화량(기울기)를 통해 내일의 확진자 발생률을 예측할 수 있다. 새로운 변수가 등장하지 않는 한, 한 달 후의 확진자 발생률까지 예측할 수 있다. 기후 변화, 주식 시장, 아파트 가격의 추세도 마찬가지다. 다시 말해 과거를 적분하면 현재를 이해할 수 있고, 현재를 미분하면 미래를 예측할 수 있다. 미적분을 이해한다는 것은 변화를 읽는 일이다. 미적분으로 열린 새로운 시대, 미적분으로 예측하는 미래 변화를 읽는 힘을 길러주는 수학 교양서 인간이 미적분을 이해하지 않았더라면, 그 쓸모를 제대로 이용할 줄 몰랐다면 오늘날과 같은 시대는 상상하기 어려웠을 것이다. 이 책은 그러한 미적분을 이용해 미래를 읽고 움직인 사람들의 이야기를 담았다. 스페이스X의 로켓 추진체 재활용 사업은 그동안 많은 실패를 겪고 드디어 성공을 거두기 시작했다. (중략) 무엇보다도 마지막 순간에 로켓 추진체를 안전하게 착륙시키는 기술이 중요한데, 바로 하강속도 제어와 자세 제어 기술이다. 질소 분사 장치가 소량의 질소를 수평으로 분사하여 미세한 회전력을 만들어내면, 일종의 소형 날개인 그리드 핀이 각도를 조정해서 방향을 미세하게 조절한다. 모두 회전운동을 미분적으로 파악해야 가능한 일이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라 인공신경망 모델은 기존의 미분방정식 모델과 달리 과학법칙이나 규칙이 아니라 현실 데이터에 기반한 모델이다. 하지만 인공신경망의 알고리즘은 손실함수를 최소화하는 과정에서 미분의 개념을 사용한다. 앞서 이야기한 뉴턴의 법칙 또는 질량보존의 법칙 등 물리법칙에 기반하여 수식화된 미분방정식을 이용하지만 않을 뿐, 인공신경망을 엄청난 양의 데이터로 학습시키는 데 미분의 개념은 필수불가분의 관계다. _Ⅲ. 인공지능이 빅데이터를 학...
  • 들어가며 세상의 변화를 이해하고 미래를 예측하는 언어, 미적분·005 I. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라: 가속도·011 세상에 움직이지 않는 것은 없다·015│세기의 발견과 가속도의 관계·017│물리학자인 뉴턴은 왜 미분을 고안했을까?·020│도로의 무법자를 잡는 미분·029│뛰는 캥거루 운전자, 그 위를 나는 미분·034│통과 지점은 중요하지 않다, 새로운 가속도 측정법·036│가속도의 법칙으로 떠나는 우주여행·040│스페이스X의 성공 비결, 회전운동과 미분·045 미적분이 만든 미래 │새로운 배송시대의 도래, 드론을 제어하라·050 II. 자연의 곡선을 구현하기 위한 인간의 언어: 기울기·059 극한과 무한의 역사·063│한계가 없는 수를 설명하는 미적분학·068│기울기로 이해하는 미분·071│도시를 연결하는 곡선 기하학·075│세상을 구성하는 나선의 종류들·080│자연의 아름다움을 담아내는 곡선 디자인·084 미적분이 만든 미래 │자연의 곡선을 그리는 컴퓨터 회화, CG·088 III. 인공지능이 빅데이터를 학습하는 방법: 최적화·093 현실적인 타협점을 구하라·096│최적화를 어렵게 만드는 조건, 다변수·102│아마존과 인공지능의 연결고리, 최적화·105│복잡한 현실을 반영한 모...
  • 뉴턴의 꿈은 천체의 움직임, 즉 우주라는 공간에서 시간에 따른 천체의 위치 변화로 만유인력을 이해하는 것이었다. 뉴턴에게 남은 숙제는 이 가속도를 이해하고 수학적으로 기술하는 것이었다. 그리고 이 가속도를 수학적으로 정확히 표현하기 위해서 만든 개념이 바로 미분이다. 미분은 근대에 탄생한 움직임에 관한 수학이다. (중략) 분명한 것은 뉴턴이 자신의 꿈을 이루기 위해 고안한 이 수학 개념이 과학혁명을 이루는 데 일조하고, 300년이 지나 최첨단기술을 만나 다양한 방면에 쓰이고 있다는 사실이다. _Ⅰ. 혁명의 시작, 순간 속도를 계산하라 직선과 달리 곡선은 부드럽다고 생각한다. 하지만 곡선이라 해서 모두 부드러운 것은 아니다. 곡선이 어색한 부분 없이 완벽하게 부드럽고 자연스러우려면 곡선상에서 1차, 2차 도함수는 물론 그 이상의 고차도함수가 연속적이어야 한다. (중략) 곡선 철로를 놓을 때는 직선 철로와 부드럽게 이어질 수 있도록 하는 것이 중요하다. 연결 철로가 서로 어긋나지 않아야 함은 물론이고, 접선의 기울기가 일치하는 방향으로 이어져야 한다. 즉 함숫값이 연속이고 기울기가 서로 같도록 만들어야 한다. _Ⅱ. 자연의 곡선을 구현하기 위한 인간의 언어 오크통은 가운데가 불룩하여 포도주의 양이 오크통의 깊이에 비례하지 않는다. 과거에는 포도주를 거래할 때 이러한 사실을 알고 있었다. 포도주 상인들은 오크통 안으로 긴 막대를 넣어 포도주가 묻어나는 높이를 측정해서 부피를 구하곤 했다. 이때 부피를 재기 위해 매번 적분하는 수고를 하지 않으려면 막대자의 눈금을 높이에 따라 다르게 매겼다. 위아래 끝쪽보다 중간 부분의 눈금을 촘촘하게 표시한 것이다. _Ⅳ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다 신체 내부의 각 격자값 f(x,y)가 주어졌을 때 투과된 광선이 적분되면서 Rf 결과로 나타나는 과정을 라돈 변환이라 하고, 라돈 변환을 거꾸로 적용하여 도로 격자값 f(x,y)를 끄집어내는 것을 라돈 역변환이라 한다. CT란 촬영된 여러 장의 2차원 사이노그램을 라돈 역변환하여 신체 내부의 3차원 공간 정보로 재구성하는 알고리즘이라 할 수 있다. 여기에 적분과 관련되어 엄청나게 많은 수학적 계산이 수반된다. _Ⅳ. 작은 움직임을 모으면 변화의 축이 보인다 픽사의 성공 비결에는 장편 애니메이션을 제작할 비용을 투자해준 디즈니도 있었지만 스티브 잡스가 채용한 수학자와 전산 과학자들의 공이 컸다. 〈토이 스토리〉는 100퍼센트 CG로 만든 세계 최초의 극장용 장편 애니메이션이다. 개봉 당시 사람들은 액션이나 인물에서 전혀 이질감을 주지 않는 이 새로운 영상에 열광했다. 모두 픽사의 수학자와 전산 과학자들이 눈송이, 해일 같은 ‘움직이는’ 자연현상을 자연스럽게 구현해내기 위해 고안한 3D 애니메이션 기법과 해상도 조절 기법 덕분이었다. 그리고 이 모든 제작 과정 뒤에는 하나의 미분방정식이 있다. _Ⅴ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법 그렇다면 아직 이론해조차 밝혀지지 않은 방정식을 어떻게 활용할 수 있을까? 바로 컴퓨터를 써서 방정식의 근사해를 구하면 된다. 컴퓨터가 발달하면서 더 이상 수학식에 의존하지 않고 수치를 써서 유체의 동적인 움직임을 해석하는 방법들이 개발되었다. 그중 N-S 방정식을 컴퓨터로 수치해석하는 것을 전산유체역학, CFD라 한다. 전산유체역학은 기상 예측이나 항공기 설계 등 다양한 실무 분야에서 널리 활용되고 있다. _Ⅴ. 디즈니 영화가 전 세계를 사로잡는 법 배가 고플 때 피자 한 조각을 먹으면 그렇게 맛있을 수가 없다. 이때 한계효용은 최고치가 된다. 그러나 피자를 한 조각씩 ...
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