디지털 시대, 수학을 이야기로 배우다
잘못된 교육 방법에서 탄생한 수포자, 그들도 즐길 수 있는 수학책이 있다.
누구나 수학을 쉽고 재미있게 알 수 있도록 돕는 수학 교양서이다. 미래의 화두는 디지털이다. 디지털은 데이터와 수학이 필수적이다. 그런 관점에서 누구나 수학을 쉽게 배울 수 있는 내용이 필요하다. 저자는 수학사와 수학자들을 재료로 ‘스토리’라는 관점에서 수학을 풀어냈다. 숫자의 탄생, 수학 용어가 만들어지는 과정 등 수학의 전체 발전과정뿐만 아니라 수학사에서 수학자들도 받아들이지 못했던 무리수, 무한 등의 수학 개념을 이야기로 전한다. 난해하기만 한 수학 용어·기호를 원어, 영어표현, 한자어 뜻, 북한식 언어(문화어)들과 비교하며 익숙해지도록 했다.
어려운 수학 문제를 푼 학생이 정작 개념을 모르는 경우가 있다. 문제 풀이에 집중하는 현재의 수학 교육은 개념을 제대로 설명하지 않는다. 불충분한 개념 설명, 어려운 문제 풀이, 지루한 반복 계산 등으로 ‘수포자’가 생길 수밖에 없었다. 10년 넘게 도서 콘텐츠를 빅데이터로 만들고 있는 저자가 전작 《지속 가능한 세상을 위한 데이터 이야기》에서 데이터의 의미, 빅데이터 사례, 데이터가 만들어가는 사회를 이야기했다면, 이번 책에서는 누구나 역사책 읽듯이 수학을 읽을 수 있는 내용을 담았다. 저자가 데이터에 이어 수학을 중학생도 읽을 수 있는 수준에서 쓴 이유이다.
교육부는 수학 사고력을 교육의 새 패러다임으로 제시한다. 사교육을 중심으로 좋은 대학을 향한 줄 세우기와 빈부 격차를 넓히는 현재의 교육 체제의 변화가 필요하다. 미래 사회에서는 학습력이 아닌 사고력과 창조력이 필요하다. 수학 만점을 맞은 수험생이라고 해도, 알고리즘 한 줄 만들기 힘들 수 있다. 알고리즘은 문제 해결을 위한 수학의 논리체계이다. 수학 수험생의 ‘문제’와 알고리즘의 ‘문제’는 다르다. 시험을 위한 문제 풀이가 아니라, 주어진 과제를 해결하는 논리가 필요하다.
‘수학에 상상력이 필요하다’라는 이야기는 잘 알려지지 않았다. 수학자 힐베르트는 어떤 수학자가 소설가로 직업을 바꾸었다는 이야기를 듣고 다음처럼 대답했다. “그건 간단한 일입니다. 그의 상상력은 수학자가 되기에는 모자라지만 소설가가 되기에는 충분하니까요.” 증명이 수학에서 가장 어렵게 느껴지는 이유는 답을 알아야 할 강박 때문이다. 증명은 상상력의 산물이다. 증명하는 방법은 1개만 있는 것이 아니다. 여러 과정으로 접근할 수 있다. 그런데도 수학에서 제대로 가르치지 않는 분야가 증명이다. 시험문제로 내기도 힘들기 때문이다. 그 때문에 지금까지 수학에서 ‘상상력’은 거세되었다고 할 수 있다. 상상력이야말로 사고력과 창조력의 근원이다. 그런 점에서 수학을 이야기로 배우는 길은 상상력으로 사고력과 창조력으로 이어지는 과정이다.
수학은 서로 연결되어 있음에도 다른 것처럼 배워왔다. 중·고등학교에서 배우는 수학에서 가장 많은 부분을 차지하는 내용이 방정식과 함수이다. 문제 풀이를 잘하는 학생에게 그 의미 차이를 물어보면 답변을 잘하지 못한다. 사실 함수가 방정식에서 발전한 것인데도 말이다. 어려워서가 아니라 수학 문제 풀이에만 중심을 두었기 때문이다. 수학자나 수학 교사 등이 보기에 ‘원래 그런 거야’라고 할 부분도 초급자의 입장에서 ‘왜?’라는 질문을 제기할 필요가 있다. 사범대에서 배우고 현장에서 교육을 경험한 저자는 공부하는 사람들이 포기하지 않게 하는 데는 ‘많은’ 내용보다, 하나라도 다양하게 생각하는 방법이 중요하다는 점을 강조한다.
수학에 흥미를 느끼도록 만든 구성
이... 책은 수학을 잘 몰라도 수학에 접근하고 싶은 사람들이 수학에서 어려워하는 부분에 흥미를 느끼도록 썼다. 예를 들어, 혼동하기 쉬운 음수의 곱셈, 무한 등에서 나타나는 모호함 등이 왜 그런지 설명하고 있다. 수학의 역사에 바탕을 두고 목차를 구성해서 다양한 수학의 뼈대를 만드는 과정을 통해, 수학이 천재들만의 결과물이 아니라 여러 사람이 함께 협력한 결과물임을 자연스럽게 알아가게 했다. 고대 바빌로니아와 이집트에서부터 현대에 이르기까지, 수학이 자연을 이해하고 분석하고 그것과 더불어 살아갈 방법들을 찾아내고 문명을 일구어내는 과정을 보여주고 있다. 생활 속의 수학뿐만 아니라 수학이 만들어가는 세상의 이야기를 다양하게 담았다. 예를 들어, 미분방정식이 행성의 운동을 이해하는 과정에서 나온 결과라는 점과 왜 미적분학이 중요하고, 그것이 현대의 어느 분야에서 활용되는지를 이야기한다. 500개가 넘는 수학 용어와 기호 중에서 많이 쓰이면서도 혼동이 심한 용어들을 중심으로 의미를 풀어나갔다. 영어, 한자어로 된 개념어, 북한의 수학 용어 등을 비교하며 용어에 조금 더 친숙하게 다가갈 수 있게 했다. 이해를 돕기 위해 도표나 그림을 활용했고, 또 그것들로부터 이야기를 끌어내고자 했다.
나무를 보면, 작은 나뭇가지가 나무 전체와 비슷한 프랙털 구조를 지닌다. 큰 가지가 뻗은 모양이 작은 가지에도 반복된다. 숲은 이런 나무의 모임으로 이루어진다. 수학이라는 학문 역시 이와 비슷하다고 생각하면 어떨까? 이 책은 어렵다고 생각되는 작은 부분을 만나더라도, 전체를 바라보며 수학에 대한 흥미와 관심을 잃지 않도록 도와준다.
머리말 004
1. 수와 기하의 탄생 013
수 감각과 수 세기는 다르다 013 | 손가락의 모양이 수가 되었다 016 | 진법은 묶음 세기다 019 | 진법은 문명에 다양하게 나타난다 021 | 컴퓨터는 2진법일 수밖에 없다 026 | 기하는 땅 나누기로 시작했다 029 | 삼각형은 가장 튼튼한 도형이다 031 | 육각형은 경제적이다 032 | 삼각형으로 원의 면적을 재다 033 | 원이 아닌 곡선은 타원, 포물선, 쌍곡선이 있다 039 | 기하, 건축에 영향을 미치다 045 | 기하, 예술에 영향을 미치다 047
2. 수에 관한 학문, 수학 050
수학이 탄생하다 050 | 피타고라스는 학파의 이름이기도 하다 052 | 기하에서 비례는 중요하다 055 | 기하에는 왕도가 없다 061 | 유클리드는 수학의 증명을 발전시켰다 063 | 무리수는 존재한다 069
3. 수를 다루는 방법의 역사 074
0은 수학의 위대한 발명이다 074 | 사칙연산에는 약속이 들어 있다 077 | 소수가 분수보다 더 유용할 때가 있다 080 | 배수로 증가할 때 실수하기 쉽다 084 | 로그는 근대의 슈퍼컴퓨터였다 088
4. 수학 기호와 용어의 역사 095
등호(=) 096 | 비슷하지만 다른 용어 101 | 소수 104 | 연산 기호 107 | 미지수 기호 109| 벡터... 111 | 실수와 허수 113 | 좌표계 118 | 무한 123 | 극한 126 | 위상수학 129 | 라디안(Radian) 135 | 행렬 140 | 충분조건 필요조건 141
5. 문제를 해결하는 방법, 방정식 142
방정식은 고대부터 사용되었다 142 | 방정식이 필요한 이유가 있다 145 | 2차 방정식의 일반형 147 | 근의 공식은 4차 방정식까지만 있다 149 | 완전제곱식의 다차원 방정식에는 패턴이 있다 155
6. 함수 이야기 158
방정식과 함수는 다르다 158 | 짝짓기 게임에는 함수가 있다 160 | 사다리 타기에는 일대일대응이 있다 162 | 그래프를 보면 미래가 보인다 165
7. 세상의 모든 변화를 담은 미적분 176
적분이 미분보다 먼저 탄생했다 176 | 기하와 미분이 만나다 180 | 전염병의 끝은 미분으로 예측 가능하다 182 | 적분은 고대의 기하학부터 시작되었다 183 | 소리와 빛에는 삼각함수가 있다 187
8. 일상생활에 숨어 있는 수학 190
패턴의 과학, 수열 190 | 확률, 도박에서 시작되었다 195 | 보험에는 확률이 숨어 있다 199 | 전문가도 확률을 틀릴 때가 있다 200 | 현대는 통계가 지배한다 203 | 평균이 말해주지 않는 것이 있다 206 | 스포츠는 통계학과 친하다 211 | 통계는 그래프가 중요하다 213
9. 수학이 스토리인 이유 216
철학자들 수학을 예찬하다 216 | 수학은 언어다 218 | 상상은 증명으로 이어진다 220 | 수학은 발견일까 발명일까? 224 | 수학 사고력이 중요하다 226 | 수학은 스토리로 공부해야 한다 229
부록 233
참고도서 236
찾아보기 249
P. 34~35 도형을 구성하는 기본 재료는 점, 선, 면입니다. 기하학자들은 이들에 특수한 성격을 부여했습니다. 점은 크기가 없고, 선은 두께가 없고 면적은 길이와 폭만 있다고 ‘약속’합니다. 무슨 말일까요? 풍경을 그리는 장면을 생각해보세요. 바람을 표현하고 싶어요. 눈에 보이지 않는 바람을 표현하기 위해 어떤 사람은 몇 개의 선을 그려 넣습니다. 그림을 보는 사람은 ‘아, 바람이 있구나’ 합니다. 도형에서 점, 선, 면도 마찬가지입니다. 점, 선, 면은 보이지 않는 것인데 보이게 하면서도 ‘실제로는 없는 것처럼’ 제한을 두는 것이지요.
P. 55 피타고라스는 음악의 모든 화성이 간단한 정수비(분수)로 이루어진다는 진리를 밝혀내게 됩니다. 이 발견 이후로 학자들은 아무리 사소한 물리적 현상이라 해도 그것을 설명하는 수학 법칙을 찾아내려고 애를 썼으며, 그 결과 모든 자연현상은 ‘수’로 표현할 수 있다는 사실이 세상에 알려지기 시작했습니다.
P. 108~109 사칙연산에는 먼저 계산하는 순서가 있습니다. 5+7×3=? 가장 간단한 문제인데 의외로 틀리는 사람이 많습니다. 앞에서부터 계산하기 때문입니다. 수학을 잘하는 사람에게 물어보면 곱셈(나눗셈)을 먼저 계산하자는 약속을 했기 때문이라고 말합니다. 틀린 말은 아니지만 뭔가 설명이 부족하게 느껴집니다. 5+35=? 누구나 다 40임을 압니다. 그런데 35를 약수로 표현하면 5×7이 됩니다. 식을 풀어쓰면 5+5×7이 됩니다. 이때 덧셈을 먼저 하면 다른 답이 나옵니다. 35가 아니더라도 모든 수는 두 가지 수의 곱으로 표현할 수 있습니다. 예를 들면 2는 1×2라고 표현할 수 있죠. 그런데 3+2의 식은 3+1×2와 같은데 3+1을 먼저 계산할 수는 없겠죠.
P. 218 수학은 다양한 용어와 기호를 언어처럼 활용하는 학문입니다. 글을 읽고 대화를 나눌 때 언어가 필요하듯이 수학을 하기 위해서는 수학의 언어를 통해 대화해야 합니다. 수학은 때로 가장 명확한 언어 소통의 수단일 수도 있습니다.
P. 224~225 힐베르트에게 어떤 수학자가 소설가로 직업을 바꾸었다고 말하자 그는 이렇게 대답합니다. “그건 간단한 일입니다. 그의 상상력은 수학자가 되기에는 모자라지만 소설가가 되기에는 충분하니까요.”
P. 226 수학에는 알 듯 모를 듯 이런 약속들이 많이 있습니다. 처음 보면 낯설어 어렵게 느껴지는데, 하나씩 개념이 만들어지는 과정을 되짚어가면 깔끔한 결과물을 보며 만족할 수도 있습니다.
P. 228~229 수학은 공식을 암기하여 문제를 푸는 과정이 아니라고 생각합니다. 물론 많은 문제를 풀면서 수학 사고력이 증가할 수 있지만, 개념을 이해하지 못하고 문제만 푼다면 학교를 졸업하고 수학을 잊고 살아가기쉽습니다. 수학은 전제들로부터 논리적 추론을 통해 새로운 결론을 유도해낼 줄 아는 능력(종합), 문제에 숨어 있는 의미를 파악해내고 공식들과 연결할 줄 아는 눈(분석) 등을 길러주는 학문이라고 생각합니다.
박옥균 [저]
서울대학교 물리교육과에서 ‘과학’과 ‘교육’을 공부했다. 중학교에서 3년 동안 과학을 가르쳤고, 포털 사이트 ‘파란’의 전신 ‘하이텔’에서 엔지니어로 일했다. 2002년부터 도서 정보 사이트 ‘리더스가이드’를 운영했으며, 2013년부터 빅데이터 관련 기술을 공부하면서 도서 6만 종에 대해 빅데이터 작업을 진행했다. 빅데이터 관련 특허 두 건(‘도서 관리 시스템 및 도서 관리 방법’, ‘집단 지능을 이용한 상품 검증 방법’)을 등록했고, 데이터 교육과 관련한 자문과 최신 흐름에 대한 컨설팅을 수행하고 있다. 지은 책으로는 여러 사람이 함께 쓴 《100인의 책마을》이 있다.
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