최근에 인공지능 기술이 4차 산업혁명의 핵심으로 빠르게 진화하면서 우리는 점차 편리해지고 풍요로워지는 삶을 경험하고 있다. 인공지능은 우리 주변에서 가상비서, 자율주행자동차, 의료진단 등의 다양한 분야에서 활용되고 있으며, 특히 생성형 인공지능 모델인 ChatGPT는 인공지능 기술의 혁신적인 발전을 대중들에게 보여주었다. 이처럼 인공지능의 적용 분야가 산업과 경제, 문화, 예술 등 우리 사회 전반으로 확대되어 중요한 영향을 미치고 있어 전문가들은 곧 인공지능 시대가 열린다고 단언하고 있다.
우리의 생활 속에 깊이 스며들고 있는 여러 인공지능 제품들을 접하면서 학생들은 도대체 인공지능은 어떤 원리로 사람처럼 인지하고 사고하며 언어를 구사할 수 있는지 알고 싶어 할 것이다. 그런데 인공지능에 관심을 가졌던 학생들은 여러 관련 서적에 수학적인 내용이 너무 많이 포함되어 있는 사실에 당황하면서 그때부터 인공지능을 배우는 것이 어렵다고 생각하게 된다.
인공지능 분야에서 수학이 중요한 이유는 데이터의 입력부터 출력까지 그리고 인공지능 모델을 구성하고 학습 알고리즘을 실행시키는 모든 과정이 수학적으로 표현되기 때문이다. 데이터와 모델의 수학적 표현은 선형대수학에서 배우는 벡터와 행렬을 이용하며, 인공지능 모델을 학습시키기 위한 알고리즘에는 미분과 편미분이 포함된 최적화 기법이 사용된다. 또한 인공지능 모델을 통하여 데이터를 예측하기 위해서는 확률이 이용되고, 데이터의 경향성 분석을 위해서는 선형회귀나 경사하강법과 같은 알고리즘의 개념을 이해해야 한다.
다시 말해서 학생들이 인공지능을 공부하기 위해서는 수학적인 원리가 어떻게 인공지능과 연계되어 활용되는지를 이해하여야 한다, 인공지능에 대한 기본적인 이해 없이 단순히 수학적인 원리만 학습하게 되면, 그것은 인공지능의 공부가 아니라 그야말로 수학 공부로 끝나게 되는 것이다. 필자가 이 책을 집필한 동기가 바로 여기에 있다.
이 책을 쓰면서 필자는 대학 1학년 수준에 맞추어 인공지능의 기본적인 내용과 관련된 수학적 원리 중에서 필수적인 내용만을 엄선하기 위해 고민을 하였으며, 지나치게 복잡하고 어려운 내용은 생략하였다. 또한 인공지능과 그 안에 포함된 수학적 원리를 함께 연계하여 설명함으로써 인공지능과 수학간의 괴리가 발생되지 않도록 하였다.
이 책의 구성과 특징
이 책은 전체 5개의 단원으로 구성하여 대학 1학년 과정에서 한 학기 강의로 모든 단원이 완료될 수 있도록 구성하였다. 필자의 다양한 경험을 살려 최대한 쉽게 기술하여 학생들의 눈높이에 맞추려고 노력하였다.
이 책의 주요 특징은 다음과 같다.
- 1장부터 4장까지는 인공지능의 기술과 연계된 수학적 원리를 그림으로 풀어 설명함으로써 최대한 이해하기 쉽게 구성하였으며, 5장에서는 인공지능과 관련된 수학의 전반적인 내용을 좀 더 보완하여 알기 쉽게 설명하였다.
- 교재의 중간에 있는 여기서 잠깐!에서는 예전에 학습한 내용이나 주의해야 할 내용을 간단히 설명하여 학생들이 다른 교재를 찾아보는 수고를 덜어 학습의 연속성을 유지할 수 있도록 하였다.
- 각 단원의 연습문제에 대한 정답을 부록에 수록하였다.
이 책의 내용
1장에서는 인공지능의 정의를 살펴보고 머신러닝과 딥러닝과의 상관관계에 대하여 학습한다. 또한 현재와 같은 인공지능 시대가 도래하기까지 인공지능의 발전과정에 대하여 개략적으로 학습하고, 인공지능이 활용되고 있는 주요 분야에 대하여 소개한다. 인공지능을 실제로 구현하기 위해서는 실세계에서 얻은 방대한 데이터를 컴퓨터가 처리하고 계산이 가능한 형태로 만들어야 한다. 이를 위하여 필요한 것이 수학이며, 어떤 분야의 수학이 인공지능에 사용되는지에 대하여 소개한다.
2장에서는 인공지능에서 사용되는 대표적인 비정형 데이터인 텍스트 데이터, 이미지 데이터의 수학적인 표현과 데이터 처리 방법에 대하여 학습한다. 이를 위하여 집합의 정의와 표현, 벡터의 정의와 성분표시, 벡터 기본 연산, 행렬의 정의와 기본 연산 등에 대하여 수학적인 내용을 소개한다.
3장에서는 데이터 분류의 개념과 감성분석에 대하여 학습하고, 텍스트 데이터의 분류를 위하여 여러 가지 유사도의 정의에 대해 소개한다. 또한 인공지능이 이미지 데이터를 분류하기 위하여 해밍 거리에 의한 행렬 유사도의 개념에 대하여 학습한다. 마지막으로 사람의 뇌에서 정보전달 방법을 모방한 인공신경망의 수학적 모델을 소개하고, 다층 퍼셉트론과 심층신경망의 학습알고리즘인 역전파 학습알고리즘과 딥러닝을 학습한다.
4장에서는 주어진 정보가 불확실하거나 명확하지 않은 상황에서도 인공지능은 가능성이 높은 방향으로 의사결정을 하게 되는데, 이 때 필요한 수학적 도구인 확률의 기초 내용에 대하여 소개한다. 또한 주어진 데이터로부터 적절한 경향성을 파악하기 위한 선형회귀에 대하여 학습하며, 추세선 결정을 위한 수학적 기초로써 다변수함수의 편미분에 대하여 소개한다. 마지막으로 선형회귀모델에서 경사하강법의 개념과 원리에 대해서 학습하며, 선형회귀 문제를 해결하는 또 다른 방법으로 최소제곱법을 소개한다.
5장에서는 인공지능의 원리를 이해하기 위하여 필수적인 기초수학을 추가로 소개하였다. 여러 가지 함수와 미분법, 합성함수와 역함수의 미분법, 다변수함수의 2차 편도함수, 특수한 행렬과 행렬식, 역행렬의 정의와 역행렬 계산법, 벡터 외적, 벡터공간의 기초 개념 등에 대하여 기본적이고 필수적인 내용에 대하여 학습한다. 이 장의 내용은 인공지능을 학습하면서 관련된 수학적인 내용을 찾아보는 용도로 활용하는 것이 효과적이다.
CHAPTER 01 인공지능의 개념과 활용
1.1 인공지능의 기본 개념
(1) 인공지능의 정의
(2) 머신러닝과 딥러닝
1.2 인공지능의 발전 과정
(1) 인공지능의 태동
(2) 인공신경망(퍼셉트론)의 등장
(3) 인공지능의 쇠퇴와 전문가시스템의 번영
(4) 다층 퍼셉트론의 등장
(5) 딥러닝과 인공지능 시대의 도래
1.3 인공지능의 활용 사례
(1) 인공지능 비서
(2) 자율주행 자동차
(3) 챗봇과 ChatGPT
(4) 온라인 쇼핑몰 광고 추천
1.4 인공지능과 수학적 도구
CHAPTER 02 데이터의 수학적 표현
2.1 데이터의 변환과 정보
(1) 데이터의 변환
(2) 데이터와 정보
2.2 텍스트 데이터의 정의와 형태
(1) 텍스트 데이터의 정의
(2) 텍스트 데이터의 형태
2.3 집합을 이용한 텍스트 데이터의 수학적 표현
(1) 집합의 정의와 표현 방법
(2) 집합의 연산
(3) 텍스트 데이터에 대한 집합 표현
2.4 벡터를 이용한 텍스트 데이터의 수학적 표현
(1) 벡터와 스칼라의 정의
(2) 위치벡터와 성분표시
(3) 벡터의 크기
(4) 텍스트 데이터에 대한 벡터 표현
2.5 텍스트 데이터의 분석과 시각화
(1) 문장에서 주제어 찾기
(2) 단어 임베딩 벡터의 정의
(3) 벡터의 연산과 스칼라 곱
(4) 문장과 단어 사이의... 유사도 판정
(5) 텍스트 데이터의 시각화
2.6 행렬을 이용한 이미지 데이터의 수학적 표현
(1) 행렬의 정의
(2) 행렬의 상등
(3) 흑백 이미지 데이터의 행렬 표현
(4) 컬러 이미지 데이터의 행렬 표현
2.7 행렬 연산을 이용한 이미지 데이터의 처리
(1) 행렬의 기본 연산
(2) 행렬을 이용한 이미지 밝기 변환
(3) 이미지 합성
(4) 이미지 변환
2.8 동영상 데이터와 오디오 데이터
(1) 동영상 데이터
(2) 오디오 데이터
연습문제
CHAPTER 03 데이터의 분류
3.1 데이터 분류와 감성분석
(1) 데이터 분류의 개념
(2) 감성분석
3.2 텍스트 데이터 분류를 위한 유사도 정의
(1) 자카드 유사도
(2) 유클리디안 유사도
(3) 코사인 유사도
(4) 맨하탄 유사도
3.3 이미지 데이터의 분류
(1) 해밍 거리의 정의
(2) 행렬의 해밍 거리
(3) 행렬 유사도를 이용한 이미지 분류
3.4 인공신경망에 의한 이미지 식별
(1) 뇌의 정보 전달 방법
(2) 인공신경망의 수학적 모델
(3) 퍼셉트론
(4) 다층 퍼셉트론과 역전파 학습알고리즘
(5) 심층신경망과 딥러닝에 의한 이미지 식별
연습문제
CHAPTER 04 데이터의 예측과 경향성
4.1 확률 이론 기초 수학
(1) 인공지능과 확률의 정의
(2) 확률의 기본 성질
(3) 조건부 확률과 독립사건
(4) 확률변수와 확률분포
(5) 평균과 분산
4.2 확률을 이용한 데이터 예측
(1) 경험적 확률
(2) 인공지능의 데이터 예측
4.3 데이터의 경향성
(1) 산점도와 데이터 경향성
(2) 선형회귀모델
4.4 추세선의 결정을 위한 수학적 기초
(1) 미분계수와 도함수
(2) 다변수함수와 편미분
4.5 선형회귀모델에서의 경사하강법
(1) 경사하강법의 개념과 원리
(2) 경사하강법을 이용한 선형회귀
4.6 최소제곱법에 의한 선형회귀
연습문제
CHAPTER 05 인공지능을 위한 기초수학
5.1 함수의 정의와 그래프
(1) 함수의 정의
(2) 함수의 그래프
5.2 공학적으로 유용한 함수
(1) 1차 및 2차 다항함수
(2) 삼각함수
(3) 덧셈정리와 삼각함수 합성
(4) 지수함수와 로그함수
5.3 미분법의 기본 법칙
5.4 삼각함수와 지수함수의 미분법
(1) 삼각함수의 미분법
(2) 지수함수의 미분법
5.5 합성함수와 역함수의 미분법
(1) 합성함수의 정의
(2) 역함수의 정의
(3) 합성함수의 미분법
(4) 역함수의 미분법
(5) 로그함수의 미분법
5.6 다변수함수의 2차 편도함수
5.7 특수한 행렬
(1) 전치행렬
(2) 대칭행렬과 교대행렬
(3) 삼각행렬
5.8 행렬식
(1) 행렬식의 정의와 계산
(2) 행렬식의 성질
(3) 고차 행렬식
5.9 역행렬
(1) 역행렬의 정의
(2) 역행렬의 성질
5.10 역행렬의 계산법
(1) 여인수행렬과 수반행렬
(2) 수반행렬을 이용한 역행렬의 계산
5.11 벡터 외적
5.12 벡터공간의 기초 개념
(1) 벡터공간의 정의
(2) 선형독립과 선형종속
(3) 기저벡터와 차원
연습문제
부록
미분공식
벡터연산
참고문헌
연습문제 해답
CHAPTER 01 인공지능의 개념과 활용
1.1 인공지능의 기본 개념
(1) 인공지능의 정의
(2) 머신러닝과 딥러닝
1.2 인공지능의 발전 과정
(1) 인공지능의 태동
(2) 인공신경망(퍼셉트론)의 등장
(3) 인공지능의 쇠퇴와 전문가시스템의 번영
(4) 다층 퍼셉트론의 등장
(5) 딥러닝과 인공지능 시대의 도래
1.3 인공지능의 활용 사례
(1) 인공지능 비서
(2) 자율주행 자동차
(3) 챗봇과 ChatGPT
(4) 온라인 쇼핑몰 광고 추천
1.4 인공지능과 수학적 도구
CHAPTER 02 데이터의 수학적 표현
2.1 데이터의 변환과 정보
(1) 데이터의 변환
(2) 데이터와 정보
2.2 텍스트 데이터의 정의와 형태
(1) 텍스트 데이터의 정의
(2) 텍스트 데이터의 형태
2.3 집합을 이용한 텍스트 데이터의 수학적 표현
(1) 집합의 정의와 표현 방법
(2) 집합의 연산
(3) 텍스트 데이터에 대한 집합 표현
2.4 벡터를 이용한 텍스트 데이터의 수학적 표현
(1) 벡터와 스칼라의 정의
(2) 위치벡터와 성분표시
(3) 벡터의 크기
(4) 텍스트 데이터에 대한 벡터 표현
2.5 텍스트 데이터의 분석과 시각화
(1) 문장에서 주제어 찾기
(2) 단어 임베딩 벡터의 정의
(3) 벡터의 연산과 스칼라 곱
(4) 문장과 단어 사이의 유사도 판정
(5) 텍스트 데이터의 시각화
2.6 행렬을 이용한 이미지 데이터의 수학적 표현
(1) 행렬의 정의
(2) 행렬의 상등
(3) 흑백 이미지 데이터의 행렬 표현
(4) 컬러 이미지 데이터의 행렬 표현
2.7 행렬 연산을 이용한 이미지 데이터의 처리
(1) 행렬의 기본 연산
(2) 행렬을 이용한 이미지 밝기 변환
(3) 이미지 합성
(4) 이미지 변환
2.8 동영상 데이터와 오디오 데이터
(1) 동영상 데이터
(2) 오디오 데이터
연습문제
CHAPTER 03 데이터의 분류
3.1 데이터 분류와 감성분석
(1) 데이터 분류의 개념
(2) 감성분석
3.2 텍스트 데이터 분류를 위한 유사도 정의
(1) 자카드 유사도
(2) 유클리디안 유사도
(3) 코사인 유사도
(4) 맨하탄 유사도
3.3 이미지 데이터의 분류
(1) 해밍 거리의 정의
(2) 행렬의 해밍 거리
(3) 행렬 유사도를 이용한 이미지 분류
3.4 인공신경망에 의한 이미지 식별
(1) 뇌의 정보 전달 방법
(2) 인공신경망의 수학적 모델
(3) 퍼셉트론
(4) 다층 퍼셉트론과 역전파 학습알고리즘
(5) 심층신경망과 딥러닝에 의한 이미지 식별
연습문제
CHAPTER 04 데이터의 예측과 경향성
4.1 확률 이론 기초 수학
(1) 인공지능과 확률의 정의
(2) 확률의 기본 성질
(3) 조건부 확률과 독립사건
(4) 확률변수와 확률분포
(5) 평균과 분산
4.2 확률을 이용한 데이터 예측
(1) 경험적 확률
(2) 인공지능의 데이터 예측
4.3 데이터의 경향성
(1) 산점도와 데이터 경향성
(2) 선형회귀모델
4.4 추세선의 결정을 위한 수학적 기초
(1) 미분계수와 도함수
(2) 다변수함수와 편미분
4.5 선형회귀모델에서의 경사하강법
(1) 경사하강법의 개념과 원리
(2) 경사하강법을 이용한 선형회귀
4.6 최소제곱법에 의한 선형회귀
연습문제
CHAPTER 05 인공지능을 위한 기초수학
5.1 함수의 정의와 그래프
(1) 함수의 정의
(2) 함수의 그래프
5.2 공학적으로 유용한 함수
(1) 1차 및 2차 다항함수
(2) 삼각함수
(3) 덧셈정리와 삼각함수 합성
(4) 지수함수와 로그함수
5.3 미분법의 기본 법칙
5.4 삼각함수와 지수함수의 미분법
(1) 삼각함수의 미분법
(2) 지수함수의 미분법
5.5 합성함수와 역함수의 미분법
(1) 합성함수의 정의
(2) 역함수의 정의
(3) 합성함수의 미분법
(4) 역함수의 미분법 ...
(5) 로그함수의 미분법
5.6 다변수함수의 2차 편도함수
5.7 특수한 행렬
(1) 전치행렬
(2) 대칭행렬과 교대행렬
(3) 삼각행렬
5.8 행렬식
(1) 행렬식의 정의와 계산
(2) 행렬식의 성질
(3) 고차 행렬식
5.9 역행렬
(1) 역행렬의 정의
(2) 역행렬의 성질
5.10 역행렬의 계산법
(1) 여인수행렬과 수반행렬
(2) 수반행렬을 이용한 역행렬의 계산
5.11 벡터 외적
5.12 벡터공간의 기초 개념
(1) 벡터공간의 정의
(2) 선형독립과 선형종속
(3) 기저벡터와 차원
연습문제
부록
미분공식
벡터연산
참고문헌
연습문제 해답
김동식 [저]
1986년 고려대학교 전기공학과 공학사 취득(고려대학교 전체 수석 졸업), 1988년 고려대학교 대학원 전기공학과 공학석사 취득, 1989년 특수전문요원 예사 11기 전역, 1992년 고려대학교 대학원 전기공학과 공학박사 취득, 1997년~1998년 University of Saskatchewan, Visiting Professor, 2004년 연암문화재단 해외연구교수 선정, 2005년~2006년 University of Ottawa, Visiting Professor, 2013년~2014년 고려대학교 전력시스템기술연구소 연구교수, 1992년~현재 순천향대학교 공과대학 전기공학과 교수다. 저서로 『전자회로』(생능출판), 『Multisim으로 배우는 전자회로 실험』(생능출판), 『공업수학 Express』(생능출판), 『회로이론 Express』(생능출판), 『알기 쉽게 풀어쓴 기초공학수학』(생능출판) 등이 있다.
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