위상수학의 기본 원리를 엄밀하면서도 쉽게 알려주는 입문서
위상수학은 학부생이 고급 수학을 배울 때 학습하기 좋은 과목으로, 자연스럽고 기하학적이며 직관적으로 봐도 매력적이다. 이 책은 한 학기 동안 위상수학 입문 강의를 들을 수 있도록 구성하였으며, 위상수학 주제마다 어떤 기하학적 원리가 있는지, 위상수학적 발상이 기하학과 해석학에 어떻게 활용되었는지 소개한다. 이 책은 점-집합 위상수학을 주로 다루며, 기하 위상수학이나 미분 위상수학, 대수적 위상수학을 간략하게 소개한다.
쉬운 예부터 다루고 위상수학의 발전사까지 알 수 있는 위상수학 입문서
위상수학은 어떠한 객체를 연속적으로 변환해도 유지되는 성질을 다루는 학문이다. 위상수학 입문 강의에서는 주로 일반 위상수학(점-집합 위상수학)을 다루는데, 어떠한 공간에서 연결성이나 연속성 등에 초점을 맞춘다. 이러한 개념은 ‘거리’를 배제하면 다소 추상적이므로, 이 책에서는 우리에게 익숙한 직선과 평면에서부터 시작하여 위상수학적 개념을 차근차근 다룸으로써 위상수학 초심자도 재미있게 학습할 수 있도록 하였다. 각 장의 [간단한 수학사]를 통해 어떠한 위상수학자가 1900년대 수학계에 발자취를 남겼는지, 어떠한 시대적 상황에 맞물려 있었는지 살펴볼 수도 있다.
1장 위상수학 소개
1.1 위상수학의 특성
1.2 위상수학의 기원
1.3 위상수학을 이해하기 위한 사전지식 : 집합론
1.4 집합 연산 : 합집합, 교집합, 차집합
1.5 데카르트 곱
1.6 함수
1.7 동치관계
2장 직선과 평면
2.1 상계와 하계
2.2 유한집합과 무한집합
2.3 실직선에서의 열린집합과 닫힌집합
2.4 축소구간 정리
2.5 평면
간단한 수학사
3장 거리공간
3.1 거리공간의 정의와 예
3.2 거리공간에서의 열린집합과 닫힌집합
3.3 내부, 폐포, 경계
3.4 연속함수
3.5 거리공간의 동치
3.6 기존 공간에서 파생되는 새로운 공간
3.7 완비거리공간
간단한 수학사
4장 위상공간
4.1 정의와 예
4.2 내부, 폐포, 경계
4.3 기저와 부분기저
4.4 연속성과 위상적 동치
4.5 부분공간
간단한 수학사
5장 연결성
5.1 연결공간과 비연결공간
5.2 연결성을 다루는 정리
5.3 실직선에서의 연결 부분집합
5.4 연결성의 응용
5.5 경로연결공간
5.6 국소연결공간과 국소경로연결공간
간단한 수학사
6장 콤팩트성
6.1 콤팩트 공간과 그 부분공간
6.2 콤팩트성과 연속성
6.3 콤팩트성과 관련 있는 성질
6.4 한점콤팩트화
6.5 칸토어 집합
간단한 수학사
7장 곱공간과 상공간
7.1 유한 곱공간
7....2 곱공간의 확장
7.3 위상 간의 비교
7.4 상공간
7.5 곡면과 다양체
간단한 수학사
8장 분리 성질과 거리화
8.1 T_0, T_1, T_2 공간
8.2 정칙공간
8.3 정규공간
8.4 연속함수를 이용한 분리
8.5 거리화
8.6 스톤-체흐 콤팩트화
간단한 수학사
9장 기본군
9.1 대수적 위상수학의 본질
9.2 기본군
9.3 S^1의 기본군
9.4 기본군의 추가 예
9.5 브라우어 고정점 정리와 관련 결과
9.6 범주와 함자
간단한 수학사
부록 A 군
부록 B 기호목록
부록 C 추천도서
부록 D 참고문헌
한빛수학교재연구소 [저]
한빛수학교재연구소에서는 이공계열 공통 수학 및 수학 관련 학과 전공 교재에 적합한 번역서와 집필서를 기획하여 출간하고 있다.
김상현 [저]
고등과학원 수학부 교수
서울과학고등학교를 수석으로 입학하고 터키에서 열린 국제수학올림피아드에서 은메달을 수상하는 등 어릴 때부터 수학과 사랑에 빠져 있었다. ‘수학이 직업이 될 수 있을까?’ 하는 의문 속에서도, ‘좋아하는 것을 하며 살자!’는 철없는 생각으로 서울대학교 수학과에 입학하였다.
군 복무 후 예일대학교에서 수학 박사학위를 받고 나서는 버클리 수리과학연구소, 텍사스 오스틴대학교, 터프츠대학교를 거쳐, KAIST와 서울대학교에 재직하다가 소규모 정예 연구소인 고등과학원으로 이직하여 교수로 일하고 있다. 과학기술정보통신부의 이달의과학기술인상, 대한수학회의 상산젊은과학자상과 논문상, 서울대학교 우수연구상 등을 수상하였다.
대학 시절엔 하루에 여덟 시간이나 수영을 하는 캠프에 따라가기도 하고, 당구에 빠져 여름 내내 당구대 위에서 수영하는 꿈을 꾸기도 했다. 기타를 치고, 게임을 하고, 영화를 보는 것도 좋아하지만, 가족과 깔깔거리는 시간이 제일 행복하다.
교육은 테크놀로지로 진화하겠으나, 여전히 마음 사이의 소통이 그 정수로 남을 것이라 믿는다. 이 생각을 이렇게 저렇게 적용해 보다가 서울대학교 우수강의상, KAIST 창의강의대상을 수상하였다. 연구소로 이직하였지만 여전히 가르치는 것을 사랑하고, 이 역시 연구의 일부로 생각한다. 받아야 할 만한 상황이 아닌데도 과분한 가르침을 받으며 성장했던 것처럼, 언제든 가르침은 나눠야 한다는 큰 빚을 짊어지고 살고 있다. 지금껏 만난 많은 좋은 선생님처럼, 자신 역시 ‘잘 생각하는 법’을 사람들에게 전할 수 있기를 희망하며 강의와 저술, 대중강연에 힘쓰고 있다.
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