= 수학 만점, 수학 1등급이 목표라면 꼬리에 꼬리를 무는 개념을 〈탐〉하라! =
중학교에서 수학 만점, 고등학교에서 수학 1등급을 만드는 비법은 꼬리에 꼬리를 무는 개념의 연결 고리를 파악해야 합니다. 수학 개념은 꼬리에 꼬리를 물고 있습니다. 초등 수학의 개념이 중학 수학에 연결되고, 중학 수학의 개념이 고등 수학의 개념에 연결됩니다.
숲속을 걷고 있는 사람에게 나무를 보지 말고 숲을 보라고 이야기해도, 그 사람은 숲을 볼 수 없습니다. 그 안에서 걷고 있을 때는 숲을 보고 싶어도 나무만 보이는 것이 당연합니다. 숲에서 빠져나와서 숲을 바라볼 때 비로소 숲이 보입니다. 그러니 누군가 이야기해줘야 합니다. 그 숲을 지나 더 복잡하고 걷기 힘든 숲까지 다 걸어본 사람은 그 숲을 이야기해줄 수 있습니다. 이 책은 중학생들이 이미 지나온 숲길인 초등학교 수학 교육과정에 대해 돌이켜보고, 이 전의 숲길과 이후의 숲길이 어떻게 이어지는지 생각해보는 데 도움이 되는 책입니다. 또 학생들이 앞으로 만나게 될 숲길을 미리 볼 수 있습니다.
저자는 중학생을 가르치면서 초등학교의 개념과 내용이 중학 수학과 연관된다는 것을 느꼈습니다. 또한, 고등학교에서 배우는 개념과 내용도 어떻게 중학 수학과 연관되는지 설명해주었을 때 학습효과가 더 크다는 것을 알게 되었습니다.
수학 1등급, 수학 만점의 비법을 제시합니다.
= 수학 1등급, 수학 만점이 목표라면 수학 개념의 연결 〈고리〉를 만들어야 한다. =
수학은 초등학교 수학, 중학교 수학, 고등학교 수학으로 구분되어 수학 개념이 나뉘어 있다고 생각할 수 있다. 이런 이유로 학생들은 수학의 개념이 각각 동떨어진 ‘점’처럼 느끼지만, 수학 개념은 이 ‘점’들을 스토리로 연결해 하나의 ‘선’으로 만들면서 익혀야 한다. 수학 개념을 여러 주머니에 나누어 넣는 것이 아니라, 서로 연결고리를 만들어서 한 주머니에서 개념을 정리해야 한다. 그래야 중학교에서 수학 만점을, 고등학교에서 수학 1등급이 가능하다.
= 수학 개념은 초등학교부터 고등학교까지 〈연결〉된다. =
학생들이 배우는 수학 개념은 초등학교부터 고등학교까지 모습을 달리하면서 계속 이어진다. 그러한 연결 고리를 ‘개념’에 방점을 찍고 설명하고 있다. 초등수학 만점, 중학수학 만점, 그리고 고등수학 1등급을 만드는 키워드는 개념이고, 이러한 개념은 초등학교, 중학교, 고등학교 수학에 연결되어 있다.
= 초중고에서 수학을 공부하는 방법을 〈제시〉하다. =
초등학생 때 분수를 공부하면서 곱셈은 “분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리 곱한다.”고 생각해서 계산만 하는 학생은, 중학생이 되어 이차방정식의 근의 공식을 공부하면서도 결과만 기억한다. 수학을 공부할 때 각각의 과정을 생각해보고, 수학 개념이 나오면 왜 이 개념이 필요한지에 대해 생각해보는 습관이 중요하다. 초등학생 시기에 이런 습관을 기르고, 중학생 시기에 계속 연습해야 고등학생이 되어 수학 개념이 어려워지더라도 제대로 공부할 수 있다.
= 수학 개념이 연결되는 〈과정〉을 알 수 있다. =
이 책은 총 4부로 구성되어 있다.
1부는 수학 공부 방법과 관련된 이야기로 시작한다. 대충 훑고 지나가는 것이 아니라, 꼼꼼하게 공부를 한다는 것이 무엇인지에 대해 예를 들어 설명한다.
2부는 초등 수학에 대한 내용이다. 중학교 공부를 하면서 꼭 알아야 할 수학 내용에 초점을 맞추어 개념을 설명하였다. 초등 수학은 개념의 베이스캠프이다.
3부는 중학 수학에 대한 내용이다. 중학교에서 배우는 내용들을 더욱 깊게 이해할 수 있게 개념을 설명하였다. 중학 수학은 개념의 절정이라고 할 수 있다.
4부는 고등 수학에 대한 내용이다. 중학교에서 배우는 내용과 연관을 가지는 고등 수학의 내용들을 살펴본다. 결국 고등 수학은 개념의 완성이다.
│프롤로그│ 수학은 100m가 아니라 42.195㎞이다
│이 책의 구성│과학적이고 체계적으로 수학 개념을 배울 수 있는 이 책의 구성
1부. 수학 공부♥오늘부터 1일
1. 수학은 자기 확신이 중요하다
2. 수학에 집중해야 하는 시기는 따로 있다
3. ‘분수’를 정복하라! ‘방정식, 부등식, 함수, 미분’까지 결정한다
4. 수학은 단편소설이 아니라 장편소설이다
5. 가영이와 나영이의 수학 공부 방법 비교
6. 수학도 결국 언어다
〈수학 톡! Talk?〉 수학 관련 책, 어디까지 읽어봤니?
2부. 초등 수학 : 개념과 연산, 두 마리 토끼를 잡아라
1. 자연수의 덧셈과 뺄셈 ; ‘받아올림’과? ‘받아내림’의 이중주
2. 자연수의 곱셈 ; 곱셈은 반복된 수의 덧셈이다
3. 자연수의 나눗셈 ; ‘등분’과 ‘포함’의 의미를 잡아라
4. 분수의 의미 ; 1보다 작은 수를 표현하는 방법
5. 분수의 덧셈과 뺄셈 ; 단위분수에 대한 이해가 먼저다
6. 분수의 곱셈 ; ‘분모는 분모끼리, 분자는 분자끼리’를 넘어 도식화 단계로
7. 분수의 나눗셈 ; ‘나눗셈을 곱셈’으로 바꾸는 과정을 설명하라
8. 분수의 확장 ; 비와 비율, 비례식과 비례배분
9. 도형(넓이) ; 직사각형, 평행사변형, 삼각형, 마름모..., 사다리꼴의 넓이
〈초등 수학 톡! Talk?〉 기호의 의미 ; +, －, ×, ÷, =
3부. 중학 수학 : ‘중학 수학 만점’을 ‘고등 수학 1등급’으로 만드는 특급 처방전
1. 수의 체계 ; 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 허수, 복소수
2. 소인수분해 ; 수를 소수의 곱으로 표현하라
3. 인수분해 ; 곱셈 공식의 역과정으로 이해하라
4. 방정식 ; 수상한 x를 찾아라
5. 부등식 ; 발칙한 x의 범위를 구하라
6. 함수 ; 고등 수학의 90%가 함수다
7. 삼각형의 내심과 외심 ; ‘안 내, 바깥 외’가 아니라 ‘내접원의 중심, 외접원의 중심’으로!
8. 삼각형의 결정조건과 합동조건 ; 삼각형의 성질을 정당화하기 위한 사전 작업
9. 경우의 수 ; 반복되지 않게, 빠지지 않게
10. 확률 ; 수학을 넘어, 일상 속으로!
11. 통계 ; 일상생활 속으로 들어온 수학
〈중학 수학 톡! Talk?〉 수학용어 이해하기
4부. 고등 수학 : 수학 점수는 고등 수학으로 증명된다
1. 명제 ; 필요조건과 충분조건을 구분하라
2. 수열과 급수 ; 수열은 ‘수’를 나열하는 것, 급수는 수열의 ‘합’을 구하는 것
3. 지수의 확장 ; 지수는 반복된 수의 곱셈이다
4. 지수함수와 로그함수 ; 지수와 로그가 함수를 만나다
5. 함수의 극한과 연속 ; 중학 함수를 확장하다
6. 미분(순간변화율) ; 아주 짧은 순간에 ‘함수’는 어떻게 나눠지는가?
7. 적분 ; 함수의 범위를 잘게 나누어 쌓다
8. 삼각함수 ; 삼각비의 확장판 = “삼각비와 함수가 만났을 때”
〈고등 수학 톡! Talk?〉 수학은 성장하고 성장한다(대학교에서 배우는 수학)
│에필로그│ 초중고, 수학 개념의 연결고리를 만들어라
│참고문헌│
공식이 나올 때마다 외우려고 하면 금방 지치게 됩니다. 공식이 많아지면 “수학은 외워야 할 게 너무 많다.”라면서 포기하게 됩니다. 하지만 공식이 나올 때마다 그 공식이 어떤 과정에서 나왔는지 고민하는 학생은 재미를 느낍니다.
-35쪽 〈1부 수학 공부♥ 오늘부터 1일 〉
제대로 된 선행학습은 도움이 되지만, 그저 속도만 내는 선행학습을 한다면 아이는 ‘수학은 뭔가 이상해. 어떨 때는 없다고 했다가 어떨 때는 있다고 하네?’하고 불확실한 느낌을 갖게 됩니다. 그러면서 자신의 대답에 대한 확신이 줄어들고, 뭔가 모르는 게 있다는 생각으로 장기적으로는 수학에 대한 흥미를 잃을 수도 있습니다.
-70쪽 〈2부 초등 수학: 개념과 연산, 두 마리 토끼를 잡아라〉
지금 다시 공부하라고 한다면 조바심 내지 않고 이 부분을 아무것도 보지 않은 채 백지에 쓰면서 설명할 수 있을 때까지 공부할 것입니다. 문제는 그다음에 풀고요. 개념이 이해되지 않은 채 문제를 풀면 오히려 역효과가 납니다. 개념들이 뒤섞여서 더 혼란스러워지니까요.
-131쪽 〈3부 중학 수학: ‘중학 수학 만점’을 ‘고등 수학 1등급’으로 만드는 특급 처방전〉
수학에서 단계를 강조하는 이유이기도 합니다. 다른 과목은 하나의 개념을 정확히 모른다고 해도 다른 개념을 공부할 때 큰 문제가 되지 않습니다. 하지만 수학에서는 한 부분에서 구멍이 생겨버리면 시간이 지나면서 계속 그 구멍이 커지게 되고, 어느 순간 그 구멍을 채울 수 없어 포기하게 됩니다. 그래서 한편으로는 전체적으로 큰 그림을 볼 수 있어야 하고, 또 작은 부분으로 들어가서는 구멍이 생기지 않도록 완전학습을 해야 합니다. 이 과정이 유연하게 이루어졌을 때 수학 공부가 완성됩니다.
-172쪽 〈4부 고등 수학: 수학 점수는 고등 수학으로 증명된다〉
최유란 [저]
경남 마산 해운중학교 수학 교사다. 고등학교에서 7년, 중학교에서 4년 근무 하면서 11년 동안 중고등 수학을 연구하고, 중고등학생이 수학에 어려움을 겪는 이유를 그 누구보다 많이 알게 되었다. 2017년부터 2021년까지 수학 교사로서, 그리고 학부모로서 〈수학책 100권 읽기〉를 실천하였다. ‘영재 창의성 교육’으로 석사학위를 받았고, 〈교사성장학교〉 6기 과정에 참여하며 보다 나은 모습으로 성장하기 위해 노력하였다.
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