수학+세계사, 두 마리 토끼를 잡아라!
청소년들이 수학을 포기하기 전에 반드시 읽어야 할 책
왜 수학을 배워야 하는지 알려주는 확실한 이정표
수학을 어렵게 느끼는 청소년들이 점점 많아지고 있다. 애초에 수학을 왜 배워야 하는지 궁금해하는 청소년들도 많다. 무엇부터 어떻게 알려주어야 과연 청소년들이 수학과 친해질 수 있을까? ‘수학이 문명을 어떻게 바꾸어 왔는지, 수학이 우리 삶에 얼마나 가까이 있는지 청소년들에게 들려주고 싶어서 이 책을 썼다’는 저자의 말에 해답이 있다.
지레 겁먹고 ‘수포자’가 되기엔 이르다. 지피지기면 백전백승이라고 했다. 이 책을 읽으며 수학의 역사를 하나하나 알아 가고, 수학의 원리에 한 걸음 한 걸음 다가가 보자. 결국 수학에 흥미와 호기심을 느끼게 되고 자연스럽게 수학과 친해져 있을 것이다.
수와 o의 발견, 천문학, 지리학, 항해술, 전쟁, 암호 게임, 컴퓨터와 인공 지능까지
수학은 어떻게 문명을 발전시켰을까?
세계사에 숨어 있는 재미있는 수학 이야기
수학을 어렵게 느끼는 청소년들이 점점 많아지고 있다. 애초에 수학을 왜 배워야 하는지 궁금해하는 청소년들도 많다. 무엇부터 어떻게 알려주어야 과연 청소년들이 수학과 친해질 수 있을까? “수학이 문명을 어떻게 바꾸어 왔는지, 수학이 우리 삶에 얼마나 가까이 있는지 들려주고 싶어서 이 책을 썼습니다.”라는 저자의 말에 그 답이 있다.
청소년들은 수학을 배우면서 “선생님, 이거 왜 배워요?”라는 질문을 많이 합니다. 물론 현재 교과서가 과거 교과서보다는 ‘왜 이 단원을 배워야 하는지?’에 대해 친절하게 알려 주고 있지만, 여전히 청소년들에게는 가까이 와닿지 않습니다. 특히 청소년들이 많이 접하는 암호, 게임, 컴퓨터, 인공 지능은 근본 원리가 수학에서 나온 것인데 우리는 이런 분야의 수학적 원리를 잘 설명하지 못합니다.
과거와 현재, 그리고 미래에도 우리 삶의 많은 분야에서 근본을 찾아가다 보면 결국 수학으로 연결된다는 것을 청소년들이 깨달았으면 좋겠습니다. 그리고 이 책을 계기로 청소년들이 수학에 조금 더 마음을 열고 다가갈 수 있으면 좋겠습니다.
- 〈들어가며〉에서
수학은 각 시대와 문명이 해결해야 할 과제와 함께 발전한다. 각 문명에서 해결해야 할 과제는 생산과 분배, 전쟁에서 잘 나타난다. 그리고 이런 과제를 풀어나가는 데 수학이 직접적 또는 간접적으로 사용된다. 이처럼 필요에 따라 생겨나 역사와 함께 발달하고 사람들의 일상생활 속에서 알게 모르게 사용된 수학의 역사를 알고 그 원리를 이해하면 수학에 흥미와 호기심을 느끼게 되고 자연스럽게 수학과 친해질 수 있다.
지레 겁먹기엔 이르다. 이 책을 읽으며 수학의 역사를 하나하나 알아 가면서 수학에 한 걸음 한 걸음 다가가 보자. 더불어 《청소년을 위한 수학의 역사》와 함께 읽으면 좋을 자료도 소개하고 있으니 참고해 앎의 영역을 넓혀 나갈 수 있을 것이다.
세계사에 숨어 있는 재미있는 수학①
문명은 어떻게 수학을 탄생시켰을까?
목축과 농사를 시작하면서부터 사람들은 수를 세기 시작했다. 수를 셀 수 있어야 돌보는 가축들이 저녁에 무사히 우리로 돌아왔는지, 가을에 수확한 곡식이 몇 가마니인지 확인할 수 있기 때문이다.
농업 문명인 이집트에서 언제 나일강이 범람하는지를 아는 것은 매우 중요한 일이다. 또한 농민들에게 토지를 적정하게 나누어 주는 것도 중요하다. 이러한 문제는 천문학과 기하학이 발달하면서 해결하게 된다. 또 공동 작업을 한 사람들에게 식량인 난을 공평하게 나누어 주기 위해 분수가 사용된다.
상업 문명인 이슬람에서 교역은 중요한 생산 방식이다. 육로와 해로로 연결된 동서 교역로를 여행하는 상인들에게 천문지리학, 항해술은 중요한 지식이 된다. 특히 배로 화물을 운송한다면 계절풍을 이용해야 한다. 달력을 이용해 계절을 알고 출항 준비를 하는 것과 천체 관측을 통해 자신의 위치를 정확하게 아
는 것은 원거리 해상 교역에서 굉장히 중요하다. 항해술에는 천체 관측과 함께 삼각법이 사용된다.
동양에서는 농업 민족이 곡식과 부를 축적하면 유목 민족이 전쟁을 일으켜 약탈해 가는 패턴이 되풀이된다. 유목 민족은 식량이나 수공업 제품을 자체적으로 생산할 수 없기에 교역이나 약탈로 충당한다. 어떤 학자들은 “유목 민족에게는 전쟁이 생산 행위이다.”라고 말한다. 전쟁이 생존을 위한 수단이 되는 것이다. 전쟁은 각 문명에서 생산과 분배 못지않게 중요한데, 전쟁에서 승리...하기 위해 수학을 사용한다. 고대부터 중세까지는 창, 칼, 활의 병장기와 축성술이 중요했고, 근대 이후 화약 무기가 사용되면서부터는 대포의 사용이 전쟁의 승패를 결정짓게 된다. 대포는 삼각비와 이차 함수를 알아야 제대로 사용할 수 있다. 전쟁에서 승리하려면 모든 국력을 모아야 하기 때문에 전쟁을 거치면서 과학 기술이 비약적으로 발달하고, 수학도 전쟁을 계기로 많은 발전을 거듭한다. 문명이 수학을 탄생시키고, 전쟁이 수학을 발달시킨 것이다.
세계사에 숨어 있는 재미있는 수학②
암호의 역사를 알아볼까?
비밀번호(Password)는 특정한 자원에 접근 권한이 있는지를 확인하는 것이고, 암호(Cipher)는 해당 정보를 변형해서 약속 기호를 모르는 사람은 이용할 수 없게 만드는 것이다. 학문적으로 암호는 ‘Cipher’를 의미하며, 이 경우 비밀번호에 해당하는 것은 ‘키(key)’라고 부른다.
암호는 사전에 약속된 사람만 내용을 이해하고 약속되지 않은 사람은 내용을 이해할 수 없도록 하는 것이 중요하다. 고대 시대부터 정치 외교와 군사 분야에서 암호가 많이 사용되었다. 20세기에 제2차 세계 대전을 거치면서 암호와 암호 해독은 전쟁의 승패를 좌우할 만한 분야로 영향력이 커지고 암호를 해독하기 위해 컴퓨터가 개발되기에 이른다. 현재는 인터넷 거래에 본인 인증 프로그램으로 사용되는 등 가상 거래에도 활발하게 사용되고 있다. 이러한 암호의 역사는 바코드와 QR코드 같은 보안 장치 기술, RSA 보안 및 인증 시스템으로 발전에 발전을 거듭하고 있다.
세계사에 숨어 있는 재미있는 수학③
경제학과 수학은 어떻게 연결되어 있을까?
상호 의존적이고 이성적인 의사 결정을 수학적으로 분석하는 게임 이론은 개인이나 기업이 어떤 결정을 할 때 그 결과가 경쟁자가 어떤 결정을 하느냐에 따라 내 선택이 큰 영향을 받는다. 상대방의 의사 결정이 나의 의사 결정에 중요한 영향을 끼치는 경제학과 수학이 결합한 20세기 융합 학문이라고 할 수 있다.
게임 이론 역시 수학에서 출발했다. 게임이 전개되는 상황을 수식으로 나타내고 1980년대 이후 경제 현상을 설명하는 데 수학에 바탕을 둔 게임 이론이 동원된다. 게임 이론이 각광을 받는 이유는 어떤 전략이 필요한 상황인지를 게임 이론을 통해 설명할 수 있고, 합리적 판단을 수치화해서 객관적으로 설명할 수 있기 때문이다.
게임 이론은 학계에서도 광범위하게 연구가 진행되고 있다. 경제학에서는 이미 독립된 분야로 커리큘럼에 포함되어 있고, MBA경영 전문 대학원나 로스쿨에서도 게임 이론을 가르치고 있다. 게임 이론은 또한 사회학과 생물학에도 영향을 끼치고 있다. 현대 사회에서는 누구든 가정과 사회에서 사람들과 부딪치면서 살아가고 있다. 게임 이론은 이 상황에서 어떤 결정을 내려야 할지 해답을 제시해 줄 수 있다.
세계사에 숨어 있는 재미있는 수학④
컴퓨터와 인공 지능은 어떻게 발전했을까?
주판에서 시작된 계산 기계는 암호 해독을 위해 개발된 콜로서스를 시작으로 ‘프로그래밍이 가능한 전자식 계산 기계’로 발전한다. 컴퓨터가 슈퍼컴퓨터와 개인용 컴퓨터로 발전하면서 사람이 제시한 프로그램만 시행하는 것이 아니라 스스로 학습해서 진화하는 인공 지능으로 발전하고 있다. 경우의 수가 너무 많아서 결코 컴퓨터가 사람을 이길 수 없다고 생각했던 바둑에서 인공 지능 프로그램 알파고가 사람을 이긴다.
이제 인공 지능은 현실이 되었다. 인공 지능의 수학적 원리와 빅 데이터, 그리고 블록체인의 원리를 알고 이에 대비해 나가야 한다.
들어가며
1강 문명의 발생: 문명이 탄생시킨 수학
목축과 농업
나일강의 범람
공평하게 나누기
천문학과 점성술
2강 그리스 철학: 아고라에서 발달한 논리학
폴리스와 아고라
논리학
제논의 역설
기하학 원론
3강 이슬람 수학: 상업이 발달시킨 실용 수학
상업 문명과 지혜의 집
대수학
교역과 원거리 항해
4강 인도 수학: 철학적 사색과 0의 발명
진법
0의 발명
이진법
5강 전쟁과 수학: 직접 가지 않아도 알 수 있는 삼각 측량
활, 창, 칼
성벽과 축성술
대포의 등장
포물선과 삼각 측량
6강 데카르트와 좌표: 기하와 대수를 하나로 묶은 해석 기하학
르네상스와 대항해 시대
미지수 x의 사용
좌표와 해석 기하학
지도의 제작
7강 미분과 적분: 움직이는 것을 예측하다
프린키피아
탄도학
미적분과 실생활
8강 집합과 수리 논리학: 유한에서 무한으로
무한 집합
논리를 기호로 표현
러셀의 역설
불완전성의 정리
9강 암호: 전쟁의 승패를 결정짓는 암호
고대와 중세의 암호
제2차 세계 대전과 암호
보안 장치
10강 게임 이론: 경제학과 수학의 결합
선형 계획법
워 게임
죄수의 딜레마
치킨 게임과 핵전쟁
11강 컴퓨터와 인공 지능: 스스로 학습하는 인공 지능
...컴퓨터의 발전과 기본 원리
튜링 테스트
인공 지능과 알파고
빅 데이터
블록체인
무슬림은 하루 다섯 번씩 메카를 향해 기도해야 하고, 1년 중 한 달 정도 금식 기간인 ‘라마단’을 지켜야 합니다. 그리고 모든 무슬림은 평생에 한 번은 꼭 성지 순례를 해야 합니다. 기도를 하거나 성지 순례를 하려면 메카 방향을 정확하게 알아야 하고, 무슬림에게 라마단의 시작과 끝을 알려주려면 정확한 달력을 만들어야 해서 천문학 관찰이 중요할 수밖에 없습니다.
-73~74쪽 3강 이슬람 수학
‘0’은 없음을 의미하는 수로, 철학의 나라 인도에서 만들어졌습니다. 우리 눈에 보이는 수뿐만 아니라 보이지 않는 수도 의미가 있다는 것을 알려주고 있습니다. 0이 없는 중국의 한자, 이집트와 로마의 숫자는 크기가 커지면 계속 새로운 숫자를 만들어야 합니다. 한자는 십, 백, 천, 만, 억, 조, 경, 해… 이렇게 숫자를 사용합니다. 그렇지만 0을 사용하면서 더 이상 숫자를 만들 필요가 없어집니다.
333이라고 할 때 이것은 3 × 100 + 3 × 10 + 3 × 1을 의미합니다. 맨 왼쪽의 3은 100짜리 수 묶음이 3개 있다는 뜻이고, 가운데 3은 10짜리 수 묶음이 3개 있다는 뜻이고, 오른쪽 3은 낱개, 즉 1이 3개 있다는 뜻입니다. 같은 숫자 3이지만 300을 의미하기도 하고 30을 의미하기도 하고 3을 의미하기도 합니다. (중략) 십진법에 0이 사용되면서 10개의 숫자로 어떤 큰 수도 쉽게 나타낼 수 있게 되었습니다. 0의 발명은 수학 역사에서 가장 획기적인 사건으로 평가받고 있습니다.
-83쪽 4강 인도 수학
대포의 탄환을 목표물에 정확히 맞추기 위해서는 거리와 방향을 측정하는 것이 중요합니다. 관측자는 목표물의 방향과 대포에서 목표물까지의 거리를 측정합니다. 곡사포 사수는 관측자가 알려 주는 방향과 거리에 맞춰 포격을 하고요. 그렇지만 전쟁터에서 적군의 진지까지 거리를 재기 위해 직접 갈 수는 없습니다. 직접 가지 않고 거리를 재는 방법은 삼각비를 활용하는 것입니다. 고대 문명에서 천문 관측에 사용되었던 삼각비가 대포의 거리 측정에도 사용됩니다.
-105쪽 5강 전쟁과 수학
갈릴레오는 책상으로 경사면을 만들어 쇠구슬을 굴렸습니다. 그리고 경사면을 거쳐 아래로 떨어지는 궤적을 관찰해 날아가는 물체가 포물선임을 밝혀냈습니다.
뉴턴의 고전 역학을 이용하면 날아가는 포탄의 궤적을 알 수 있고, 포탄이 어디에 떨어질지도 정확하게 계산할 수 있었습니다. 날아가는 포탄의 궤적을 계산한 결과, 중력이 작용하는 지구상에서 대포를 쏘면 포탄의 궤적이 이차 함수 모양으로 떨어진다는 것을 알게 되었습니다.
-132쪽 7강 미분과 적분
1950년대에는 컴퓨터를 활용한 워 게임이 등장했습니다. 실제 쌍방 기동 훈련을 하려면 막대한 시간과 비용이 소요됩니다. 그렇지만 도상 모의 전투 훈련이나 컴퓨터 워 게임으로 진행하면 실제 기동 훈련과 같은 전투 결과를 얻으면서도 비용과 시간을 절감할 수 있습니다.
민간에서 사용되는 워 게임은 처음에는 지도와 말판을 이용한 보드게임 형태로 만들어졌습니다. 컴퓨터의 도움 없이는 전략적 판단의 성패 여부를 즉각 알기 어렵기 때문에 보드게임 방식으로 만들게 된 것이지요. 그러나 20세기 후반부터 개인용 컴퓨터가 개발, 보급되면서 전략 시뮬레이션 게임이 등장하게 됩니다. 자원을 채굴, 육성하고 이를 바탕으로 실시간 전쟁을 진행하는 방식의 게임에 많은 사람이 관심을 가지기 시작합니다. 처음에는 〈스타크래프트〉, 〈워크래프트〉와 같은 전략 게임이 등장했고, 이후 ‘문명’ 시리즈가 등장해 전략 시뮬레이션 게임이 크게 인기를 끌었습니다.
-190~191쪽, 10강 게임 이론
처음 주판이 만들어졌을 때 많은 도움을 받았지만, 그래도 계산의... 주체는 인간이었습니다. 파스칼과 라이프니츠의 계산기 역시 계산의 주체는 인간이었지요. 그렇지만 프로그램된 연산을 스스로 수행하는 봄베나 콜로서스를 보면 계산의 주체가 인간이 아니라 컴퓨터일 수도 있겠다고 생각하게 됩니다.
컴퓨터는 인간들이 오랜 시간, 힘들게 계산해 내는 많은 문제를 수월하게 해냈습니다. 프로그램만 주어지면 그 어떤 것도 잘 해냈고요. 그러다 보니 컴퓨터가 인간이 준 프로그램만 수행하는 것이 아니라 스스로 프로그램을 만들어서 수행할 수 있지 않을까 하는 생각을 자연스럽게 하게 되었습니다. 여기서부터 인공 지능에 관한 논의를 시작하게 됩니다.
-206쪽, 11강 컴퓨터와 인공 지능
한상직 [저]
성미산학교 초등 과정에서 ‘수 연산’, ‘측정’, ‘도형’ 수업을 진행하고 중등 과정에서는 ‘생태 수학’, ‘관찰과 논리’ 수업을 진행하고 있다.
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