집중적으로 빠르게 전체를 장악하라
10일에 ‘완공’하는 중등 수학
수학은 어렵다. 누구나 잘할 수 있는 과목이 아니다. 특별한 비법도 없고, 지름길도 없다. 어느 정도는 우직함도 필요하다. 게다가 저학년 때 충실하게 학습하지 못하면 고학년이 되어 만회하기도 쉽지 않다. 수학 개념과 교육 과정이 연결되어 있기 때문이다.
이 책은 수학 교사이자 학문으로서 수학교육을 연구해온 수학교육학자인 저자가 열심히 공부해도 원하는 만큼 성과를 얻지 못하는 중학생에게 가장 효과적인 수학 공부 방법을 제시하기 위해 쓴 책이다. 초등학교와 달리 중학교 수학은 거친 파도가 출렁이는 바다다. 넓고 깊은 수학 바다에서 수학의 핵심 개념과 문제들만을 간추려 짧은 시간에 먼저 훑어본 다음에 복잡하게 얽혀 있는 중학교 수학을 장악해야 한다. 독수리가 상공에서 숲을 바라보듯이 중학교 수학 전체를 개관하고 필요한 부분이 있으면, 교과서나 참고서를 더 찾아보는 방식으로 이 책을 활용할 수 있다.
중학 수학의 눈을 틔우는 10일
중학교 수학 교과서에는 수많은 개념과 문제가 담겨 있다. 학교나 학원에서는 수학 교과서나 참고서의 모든 내용을 처음부터 끝까지 차근차근 공부한다. 하지만 많은 학생은 두꺼운 수학책의 앞만 열심히 보고, 그다음부터는 손을 놓는 경우가 허다하다. 산더미처럼 쌓인 수학 개념과 문제 들에 곧 흥미를 잃기 때문이다.
이 책은 중학교 수학 공부를 앞두고 있거나 이미 수학 공부에 매진하는 학생들이 가장 빠르게 수학과 만나는 비법을 담았다. 가장 근본적이고 핵심적인 중학교 수학 내용이 담겨 있는 베이스캠프이자, 수학 공부에 지칠 때 잠깐씩 숨을 돌리고 쉴 수 있는 따뜻한 쉼터이기도 하다.
이 책은 중학교 전 과정에서 다루는 핵심 내용과 문제들을 단 10일 만에 간파할 수 있도록 엮었다. 예습을 하고 싶은 학생, 복습을 하고 싶은 학생, 총정리를 하고 싶은 학생 모두에게 유익할 것이다.
개념을 연결해 수학의 숲이 보이는 10일
이 책에서 가장 중요한 개념은 바로 ‘연결’이다. 모든 수학 문제는 한 개 이상의 수학 개념과 연결되어 있다. 수학 내의 다른 문제들과 해법이 연결되어 있고, 과학의 역사를 비롯한 타 학문과도 연결되어 있다. 그러나 교과서나 참고서는 다채로운 수학의 연결을 모두 담아내지 못하고, 수학적 발견의 논리가 대부분 생략되어 있다.
수학 교과서는 융합해 다루어야 할 개념도 교과서의 다른 단원으로 분리해 학습하는 시기가 다르다. 예를 들어 방정식, 함수, 그리고 도형을 전혀 다른 시기에 공부한다. 하지만 수학 개념은 모두 연결되어 있기 때문에 함수나 도형을 학습하면서 방정식 개념을 활용해야만 한다.
수학은 얼마나 오래 공부했는지가 중요하지 않다. 기억에 쌓여 있는 수학 지식과 개념의 분량보다는 지식이 어떻게 구조화되어 체계적으로 정리되어 있는지가 훨씬 더 중요하다. 연결된 지식을 하나의 덩어리로 집중해야 한다. ‘연립방정식의 해’와 ‘직선의 방정식’ 그리고 ‘일차함수의 그래프’를 따로 학습하지 말고, 하나의 연결망으로 집중하는 식이다.
하루 한 편, 수학의 진수를 느끼는 10일
이 책은 여기저기 흩어진 중학교 수학의 개념과 맥락을 모두 연결해 10개의 강의로 묶었다. 각 강의마다 중학교 수학의 핵심 개념, 핵심 문제를 만날 수 있다. 각 학년 다른 단원의 내용은 물론이고 때론 각 학년의 모든 과정에서 나오는 수학 개념이 연결되어 있다. 타 학문의 지식이나 수학사의 여러 장면 또한 융합되어 있다.
이 책의 백미는 생각의 마중물을 제공해준다는 것이다. 맥락은 모른 채 답만 ...구하는 기계적인 계산만 하다 보면 이내 수학에 흥미를 잃게 된다. 너무도 당연하게 받아들이고 있는 수학 개념이나 문제 해결의 절차를 보다 근본적으로 생각해야 한다. 이 책을 읽으면서 수학을 더 새로운 관점에서 생각할 수 있다.
이 책의 구성과 활용법
수학 공부에서 핵심은 수학의 다양한 개념과 지식, 원리와 법칙들을 잘 연결된 하나의 망으로 구성하는 것이다. 따라서 전체의 맥락에 따라 각 부분의 핵심 개념을 연결해서 학습하는 것이 무엇보다 중요하다. 이 책은 중학교 수학 전 과정의 내용 중에서 꼭 필요한 핵심 개념과 문제들을 간추려 복잡하게 얽혀 있는 중학교 수학을 훨씬 쉽게 공부할 수 있게 구성했다.
중학교 수학은 각 영역의 내용들을 쉬운 것부터 점점 심화시켜 다룬다. 방정식을 보면, 1차 방정식은 중학교 1학년 과정에 있고, 연립방정식은 중학교 2학년 과정에서, 2차 방정식은 3학년 과정에서 다루는 식이다. 이 책은 하나씩 주제를 선정해 한 꼭지 안에 중학교 전체 과정의 핵심 내용을 담았습니다. 물론 가능한 한 학년 순서에 맞게 정리했기 때문에 1장부터 순서대로 읽는 것이 좋다. 서로 관계가 없는 것 같은 수학 개념들도 모두 실타래처럼 연결되어 있기 때문이다.
이 책의 모든 장은 강의식으로 구성되어 있다. 특히 각 장은 기본 개념에 대한 설명부터, 교과서 중심의 지식과 개념을 학습하고, 이를 바탕으로 엄선한 좋은 수학 문제로 가득 차 있다. 이 책에서 제시하는 방법을 따라가면 수학 문제를 해결하는 가장 효과적인 방법을 찾을 수 있다.
프롤로그 _ 집중적으로 빠르게 중학교 수학 전체를 장악하라
이 책의 활용법 _ 책은 어떻게 구성되어 있는가?
1일차 소인수분해 - 복잡한 문제를 가장 작은 단위로 쪼개라
2일차 유리수와 무리수 - 눈에 보이는 것이 전부라고 착각하지 말아라
3일차 문자와 방정식 - 상황을 객관적으로 보여주는 표상을 만들어라
4일차 함수 - 변화의 양상을 다각도로 해석하라
5일차 연립일차방정식 - 식과 이미지를 함께 떠올려라
쉬는 시간 _ 우리나라에 ‘수포자’와 ‘수학 클리닉’이 있는 이유 121
6일차 도형 ① - 비밀의 문을 여는 열쇠는 가까운 곳에서 찾아라
7일차 도형 ② - 문제가 이미 해결되었다고 간주하라
8일차 포물선과 이차함수 - 표준형으로 바꿔라
9일차 확률과 통계 - 가능성을 추측하고 체계적으로 정리하라
10일차 직각삼각형 및 원 - 불변량을 찾아라
쉬는 시간 _ 모든 것의 시작: 고대 그리스
에필로그 _ 수학 시험 잘 보는 법(기본편)
이 책은 중학교 전 과정에서 다루는 핵심 내용과 문제들을 단 10일 만에 간파할 수 있도록 엮었습니다. 참고서에 있는 수많은 문제 풀이는 조금 미뤄두셔도 됩니다. 이 책은 예습을 하고 싶은 학생, 복습을 하고 싶은 학생, 총정리를 하고 싶은 학생 모두에게 유익할 겁니다.
_ 프롤로그 5쪽
지금까지 밝혀진 가장 큰 자리의 소수는 ‘2의 82589933제곱 -1’입니다. 2018년 12월 메르센 큰 소수 찾기(GIMPS)라는 단체에서 찾아냈습니다. 무려 24,862,048자리의 수입니다. 이 단체의 공식 사이트(www.mersenne.org)에서 확인할 수 있습니다. 수 전체를 표현하려면, 수천 쪽의 종이가 필요하다고 합니다. _ 1일차 소인수분해 24쪽
무리수의 존재는 지금으로부터 약 2500년 전, 고대 그리스 피타고라스 학파가 처음 알고 있던 것으로 전해집니다. 피타고라스 학파의 학자들은 직각 이등변삼각형의 밑변과 빗변의 비를 정수의 비율로 표현할 수 없다는 것을 증명했습니다. 이는 우주가 완벽하여 모든 것이 정수의 비로 표현된다고 믿었던 피타고라스 학파에 큰 충격을 주었습니다. 우리는 지금 유리수가 아닌 무리수가 있다는 사실을 너무도 당연하게 알고 있지만, 당시 유리수가 아닌 실수의 존재를 생각해냈다는 것이 놀랍습니다. _ 2일차 유리수와 무리수 40쪽
앞으로 여러분은 방정식과 그래프를 연결해 방정식의 해를 생각해야 합니다. 다수의 수학 교육 연구 결과에서 학생들은 보통 식과 그래프 이미지 중에서 식을 더 많이 쓴다고 합니다. 하지만 그림을 이용하면 식에서 찾을 수 없는 직관적인 영감과 통찰을 얻을 수 있습니다. 그래프를 통해 방정식의 해를 고찰해보면서 방정식을 함수의 관점으로 종합해 이해할 수 있게 되기를 바랍니다. _ 5일차 연립일차방적식 100-101쪽
동서고금을 막론하고 아주 일부 사람들만이 수학을 잘하고, 또 좋아합니다. 수포자라는 단어는 없지만 전 세계 대부분 학생들이 수학을 어려워하고 있습니다. 그렇다면 왜 유독 우리나라에서만 ‘수포자’나 ‘수학 클리닉’이 라는 단어를 사용할까요? 이 단어들을 과연 누가 만들었을까요? 리나라만의 독특한 경쟁 문화 내지는 타인과 비교를 즐겨하는 사회 문화적 요소에 기인하는 현상일 것이라고 추측해봤습니다. 일종의 낙인 프레임에서부터 유래된 것이죠. 심지어 수학교육 전문가들은 ‘수포자’ 프레임을 상업적으로 이용하려고 부단히 노력하고 있습니다. 결국 피해를 보는 것은 순수한 학생들입니다. 수학을 잘하는 학생이나 그렇지 않은 학생 모두가 수학을 싫어하게 됩니다. _ 쉬는 시간 122-123쪽
분석법은 수학적 발견술 가운데 가장 강력한 방법으로, 풀이 계획을 발견하는 과정입니다. 이 분석법은 아주 오래전부터 사용되어왔는데 그 기원이 고대 그리스의 피타고라스나 플라톤까지 거슬러 올라갑니다. 고대 그리스 시대가 저물어갈 무렵에 활동한 파푸스는 분석법을 체계적으로 정리했습니다. 분석법은 구하거나 증명하고자 하는 것을 이미 구하거나 증명된 것처럼 가정하고, 결론이 성립하기 위한 전제조건을 거꾸로 찾는 과정입니다. _ 7일차 도형 (2) 163쪽
수학을 배우는 목적은 여러 가지가 있습니다. 그중 한 가지가 수학을 배우면 실생활에서 우리에게 도전을 주는 삶의 문제 해결에 도움이 될 수 있기 때문입니다. 물론 수학을 몰라도 됩니다. 대다수의 사람들은 수학을 못해도 잘 살아갑니다. 반대로 수학에 능통해도 현실 문제 해결에 서툰 사람들도 있지요. 수학이 우리에게 닥친 인생 문제 해결에 직접적으로 도움을 줄 수 있다는 주장에 대한 근거를 찾기가 쉽지 않아 보입니다. 하지...만 분명한 것은 수학이 논리적 사유의 방법을 제공해준다는 사실입니다. _ 10일차 직각삼각형 및 원 235-236쪽
반은섭 [저]
저자 반은섭은 수학 교사이자 학문으로서 수학교육을 연구해온 수학교육학자이다. 한국교원대학교에서 수학교육을 공부했고, 같은 학교 대학원에서 박사 학위를 받았다. 수학 문제 해결의 심리학을 주로 연구해왔으며, 이와 관련된 여러 편의 논문을 발표했다. 특히 문제 해결 단계에서 심리학적인 추론 과정을 분석해 수학 연결 모델Connection Model을 개발했다. 공립중고등학교 몇 곳에서 수학을 가르쳤고, 한국교원대학교와 청주대학교에서 수학교육론, 문제해결론, 미적분학 등을 강의했다. 현재는 싱가포르한국국제학교에서 수학을 가르치고 있다. 한국과학창의재단에서 주관한 수학과 교육 과정 개정 작업과 서울특별시교육청에서 인정한 수학교과서 개발 연구원으로 참여했다. 저서로는 《10일 수학 중등편》과 《열흘 만에 끝내는 초등 수학》, 《인생도 미분이 될까요》가 있다.
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