단 10일 투자로 고등 수학 공부의 눈을 바꾼다
수학은 어렵다. 누구나 잘할 수 있는 과목이 아니다. 특별한 비법도 없고, 지름길도 없다. 어느 정도는 우직함도 필요하다. 게다가 저학년 때 충실하게 학습하지 못하면 고학년이 되어 만회하기도 쉽지 않다. 수학 개념과 교육과정이 연결되어 있기 때문이다.
이 책은 수학 교사이자 학문으로서 수학교육을 연구해온 수학교육학자인 저자가 열심히 공부해도 원하는 만큼 성과를 얻지 못하는 고등학생에게 가장 효과적인 수학 공부 방법을 제시하기 위해 쓴 책이다. 수학은 거친 파도가 출렁이는 바다다. 넓고 깊은 수학 바다에서 수학의 핵심 개념과 문제들만을 간추려 짧은 시간에 먼저 훑어본 다음에 복잡하게 얽혀 있는 고등학교 수학을 장악해야 한다. 독수리가 상공에서 숲을 바라보듯이 고등학교 수학 전체를 개관하고 필요한 부분이 있으면, 교과서나 참고서를 더 찾아보는 방식으로 이 책을 활용할 수 있다.
집중적으로 빠르게 전체를 장악하라
10일에 ‘완공’하는 고등 수학
“복소수, 삼차방정식, 로그, 극한, 미분, 적분…” 고등학교 수학은 단어만 봐도 어렵다. 이렇게 세분화된 고등학교 수학 곁가지들을 공부하려면 짧게는 며칠, 길게는 몇 주가 걸린다. 몇 달을 투자해야 온전히 알게 되는 미분 같은 개념도 있다. 여러 개념이 뒤죽박죽 섞여 어떤 개념을 모르는지도 알기 어려워 수학을 아예 포기하는 학생들도 많다.
핵심 개념과 문제들만을 간추려 짧은 시간에 먼저 훑어본다면 수학을 훨씬 더 수월하게 학습할 수 있다. 이 책이 제시하는 대로 수학을 이야기 형식으로 요약해서 정리하면, 짧은 시간에 전체의 내용을 먼저 탐색할 수 있다. 단 몇 장의 글이지만 수학 공부에 자신감을 얻을 수 있다. 교과서나 참고서에서 제시된 내용만을 따라가지 말고, 수학의 역사를 비롯해 다른 학문의 지식도 알게 되면, 주어진 문제를 다양한 관점에서 해석할 수 있다.
맥락을 짚고 핵심을 연결하는 10일
이 책 《10일 수학 고등편》을 관통하는 원리는 바로 ‘연결’이다. 수학은 모든 개념이 실타래처럼 연결되어 있다. 여기저기 흩어진 고등학교 수학의 핵심 개념, 핵심 문제를 연결해야 한다. 범위가 넓은 수능시험에서 고득점을 받으려면 전체의 맥락에 따라 각 부분의 핵심 개념을 연결해서 학습해야 한다. 정해진 풀이법이나 알고리즘을 암기를 하는 것보다 큰 흐름을 알고 공부하는 것이 좋다.
평소 공부를 열심히 하지만 시험 점수가 잘 나오지 않는 학생들에게는 공통점이 있다. 공부한 내용들을 하나의 연결망으로 집중해놓지 못한다는 것이다. 얼마나 오래 공부했는지는 중요하지 않다. 기억에 쌓여 있는 수학 지식과 개념의 분량보다는 지식이 어떻게 구조화되어 체계적으로 정리되어 있는지가 훨씬 더 중요하다. 연결된 지식을 하나의 덩어리로 집중시켜야 한다.
개념과 지식, 원리를 깨우치는 10일
수학 문제를 해결하려면 개념과 지식, 원리와 법칙들을 잘 연결된 하나의 망으로 저장해놓아야 한다. 예를 들어 ‘이차방정식의 해’와 ‘판별식’ 그리고 ‘이차함수의 그래프’를 따로 학습하지 말고, 하나의 스키마로 집중해 연결망을 만들어놓아야 한다.
이 책은 고등학교 전 과정에서 다루는 핵심 내용과 문제들을 잘 연결해 10개의 강의에 담았다. 참고서에 있는 수많은 문제 풀이는 잠시 미뤄두고 딱 10일만 집중해 먼저 단단한 수학 연결고리를 만드는 것이 중요하다. 이 책을 통해 여기저기 흩어진 수학의 개념들과 수없이 많은 문제들을 보다 근본적으로 들여다볼 수 있을 것이다.
이 책의 구성과 활용법
수학에는 대수, 기하..., 함수, 확률, 미적분과 같은 분야가 있다. 초등학교와 중학교에서는 각 영역에 있는 수학 나무의 큰 줄기를 다루었다면 고등학교 수학은 각 분야에 있는 곁가지들을 배운다. 이 책은 고등학교 수학 나무의 곁가지 중에서 가장 핵심적인 부분을 탐구한다.
수학 공부에서 핵심은 수학의 다양한 개념과 지식, 원리와 법칙들을 잘 연결된 하나의 망으로 구성하는 것이다. 따라서 전체의 맥락에 따라 각 부분의 핵심 개념을 연결해서 학습하는 것이 무엇보다 중요하다. 이 책은 고등학교 1학년 과정의 수학을 1장부터 4장까지 배치했다. 5장부터 10장까지는 2학년과 3학년에서 배우는 내용이다. 아직 배우지 않은 학생들은 예습 삼아, 이미 배운 학생들은 복습 삼아 활용할 수 있다.
이 책의 모든 장은 강의식으로 구성되어 있다. 특히 각 장은 기본 개념에 대한 설명부터, 교과서 중심의 지식과 개념을 학습하고, 이를 바탕으로 엄선한 좋은 수학 문제로 가득 차 있다. 이 책에서 제시하는 방법을 따라가면 수학 문제를 해결하는 가장 효과적인 방법을 찾을 수 있다.
프롤로그 _ 집중적으로 빠르게 고등학교 수학 전체를 장악하라
이 책의 활용법 _ 책은 어떻게 구성되어 있는가?
1일차 복소수와 이차방정식 _ 틀 밖으로 나가라
2일차 도형의 방정식 _ 점과 점은 언젠가 연결된다
3일차 삼차방정식 _ 새 시대를 향하는 열차로 갈아타라
4일차 유리함수와 무리함수 _ 함수를 바꾸면 한계도 바뀐다
5일차 지수와 로그 _ 인간의 감각에 숨어 있는 로그
쉬는 시간 _ 수학자들의 감정과 느낌
6일차 극한과 연속 _ 반복되는 패턴에 숨겨진 무한의 신비
7일차 미분 _ 밑바닥에서 힘차게 올라가라
8일차 적분 _ 한 차원 높은 곳에 있는 비밀을 찾아라
9일차 경우의 수와 확률 _ 세상을 바라보는 객관적인 시각
10일차 벡터와 차원, 그리고 공간 _ 다시 일어서서 종이비행기를 날려라
쉬는 시간 _ 수학의 저주
에필로그 _ 수학 시험 잘 보는 법(심화편)
복소수까지 수의 범위를 넓혀서 생각하면 우리가 중학교 3학년 과정에서 배운 이차방정식의 해를 보는 관점도 바뀝니다. 허근만 두개인 이차방정식도 존재하는 것이죠. 이차방정식의 해가 실근인지 허근인지를 판별하는 식은 이미 다 알고 있습니다. 뿐만 아니라 이 놀라운 판별식은 이차함수의 그래프는 물론이고 직선과의 위치 관계도 알려줍니다.
_ 1일차 복소수와 이차방정식 18쪽
케플러의 법칙이 발표된 후 얼마 지나지 않아 데카르트는 타원의 방정식을 구했으며, 좌표평면에 그래프를 그려가면서 타원의 성질을 연구했습니다. 그 이후에 위대한 뉴턴이 발견한 미적분에 의해 타원 궤도를 쓸고 가는 넓이 S?, Sª, S?를 정확히 구할 수 있었습니다. 물론 넓이를 구하기 위해서는 조금 복잡한 삼각함수의 미적분법을 이용해야 합니다. 티코 브라헤가 남겨준 관측 자료를 통해 케플러가 경험적으로 분석한 내용을 뉴턴이 미적분을 이용해 완벽하게 계산한 것이지요. 뉴턴은 케플러의 법칙이 옳다는 것을 증명한 후 본인이 발견한 미적분에 더욱 확신을 갖게 되었습니다. _ 2일차 도형의 방정식 49쪽
큰 수의 계산에서 아주 중요하게 사용되는 개념이 로그입니다. 16세기 말과 17세기 초는 천문학 분야에서 큰 발전이 있었습니다. 케플러나 갈릴레이와 같은 천문학자들이 행성의 운동에 대해 많은 사실을 알아낸 시기이지요. 천문학자들은 지루하고 고단한 계산에 긴 시간을 써야 했는데요. 계산기가 발명되기 전에 천문학자들은 로그를 이용해 별까지의 거리와 같은 큰 수의 계산을 쉽게 할 수 있었습니다. _ 5일차 지수와 로그 99-100쪽
극한을 공부하다 보면 작은 변화가 불러오는 놀라운 성장을 확인할 수 있습니다. 1년은 365일입니다. 나의 지금의 상태가 a이고 매일 1%씩 성장한다고 해봅시다. 그럼 내일은 내 상태가 (1.01)a가됩니다. 이튿날은 (1.01)2승a, 한달이 지나면 (1.01)30승a가 되어 있겠네요. 1년 후엔 (1.01)365승a=37.8a입니다. 1년 뒤에 무려 37.8배 성장한 것입니다. 반대의 경우는 (0.99)365승a=0.03a입니다. 1%씩 줄어들면, 처음의 상태가 100이었다면, 1년 뒤엔 3으로 줄어듭니다. 만일 매 순간 성장한다면 어떻게 될까요? 시간을 1년 365일이 아닌 매 순간으로 보는 것입니다. 365가 아닌 상당히 큰 수가 들어가겠네요. _ 6일차 극한과 연속 144쪽
아이작 뉴턴과 그의 스승인 아이작 배로우Isaac Barrow는 미분과 적분의 관계인 미적분의 기본정리를 이용해 곡선의 길이, 곡선과 곡면으로 둘러싸인 도형의 넓이와 부피 등을 이전과는 달리 쉽고 정확하게 구하는 방법을 제시했습니다. 적분은 현대인의 실생활에 널리 이용되고 있습니다. 건축 및 토목, 움직이는 물체의 운동 상태의 파악, 첨단 의료기기의 설계 등에 직접적으로 활용되는 수학의 개념입니다 _ 8일차 적분 171-172쪽
종이비행기의 어느 한순간의 위치를 표현하기 위해선 세 개의 숫자가 필요합니다. 바닥에서의 위치를 나타내는 숫자 두 개와 높이에 해당하는 숫자 한 개를 합쳐 (a, b, c)로 좌표를 나타냅니다. 비행을 하는 동안 생기는 수많은 좌표를 연결하면 종이비행기의 경로가 만들어집니다.
이 경로를 식으로 표현할 수도 있습니다. 이미 배운 것처럼 세 개의 매개변수 함수 벡터로 말이죠. 물론 함수의 식을 구하는 것까지 요구하지는 않습니다. 다만 학생 수만큼의 비행기 경로가 나온다는 것을 이해하면 됩니다. 우리가 그린 곡선은 모두 다릅니다. 마치 천차만별인 우리의 인생과 마찬가지로요. _ 10일차 벡터와 차원, 그리고 공간 242쪽
반은섭 [저]
저자 반은섭은 수학 교사이자 학문으로서 수학교육을 연구해온 수학교육학자이다. 한국교원대학교에서 수학교육을 공부했고, 같은 학교 대학원에서 박사 학위를 받았다. 수학 문제 해결의 심리학을 주로 연구해왔으며, 이와 관련된 여러 편의 논문을 발표했다. 특히 문제 해결 단계에서 심리학적인 추론 과정을 분석해 수학 연결 모델Connection Model을 개발했다. 공립중고등학교 몇 곳에서 수학을 가르쳤고, 한국교원대학교와 청주대학교에서 수학교육론, 문제해결론, 미적분학 등을 강의했다. 현재는 싱가포르한국국제학교에서 수학을 가르치고 있다. 한국과학창의재단에서 주관한 수학과 교육 과정 개정 작업과 서울특별시교육청에서 인정한 수학교과서 개발 연구원으로 참여했다. 저서로는 《10일 수학 중등편》과 《열흘 만에 끝내는 초등 수학》, 《인생도 미분이 될까요》가 있다.
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