기계식 계산기, 컴퓨터 알고리즘, 프로그래밍 언어
하드웨어, 반도체, 온라인 암호 체계…
“이 모든 걸 수학이 했다고요?”
디지털 세상의 토대를 마련한 10명의 수학자들
기계도 사람처럼 생각할 수 있다고 꿈꾼 최초의 인물은 누구일까? 어떻게 컴퓨터와 소통할 수 있는 언어가 필요하다는 발상을 했을까? 한 가지 기계가 만능으로 사용될 수 있다는 발상을 해낸 사람은 누구일까? 오늘날의 기술과 관련해 당연하게 여기던 사실들을 찬찬히 생각해 보면 놀랍기 그지없다. 컴퓨터라는 개념도 없던 시대에 상상조차 하기 어려웠던 이 모든 일을 이루어 낸 사람은 다름 아닌 수학자들이었다.
예를 들면 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 사칙연산을 수행하는 계산기를 최초로 만들었다. 찰스 배비지는 당대 사람들에게는 이해받지 못했지만 오늘날의 컴퓨터와 동일한 원리의 해석기관과 차분기관을 구상했다. 이들을 비롯한 10명의 인물 가운데 단연 눈에 들어오는 사람은 조선 시대 삼정승을 지낸 최석정이다. 영의정을 여덟 차례나 지냈던 최고위급 인물이 당시 잡학으로 여겨졌던 수학에 관심을 가졌고 발전시켰다는 사실은 놀라움을 자아낸다. 게다가 그가 오일러보다도 앞선 조합수학의 기원이며 바로 이 조합수학이 오늘날 우리나라를 IT 강국으로 만들어 준 반도체 산업에 기초 학문으로써 활용되었다는 필연 같은 우연은 더더욱 경이롭다.
이처럼 17세기 중엽부터 오늘날에 이르기까지, 기계식 계산기가 산업용 컴퓨터, PC를 거쳐 스마트폰 속의 반도체로 발전하기까지의 과정이 거기에 활용된 수학 개념들과 함께 이 책에 녹아 있다. 수학과 IT 지식이라는 두 마리 토끼를 함께 좇다 보면 분명한 메시지가 전해진다. 수학은 재미있고 가치 있는 학문일 뿐 아니라 지금까지 세상을 움직여 왔으며, 앞으로도 큰 변화를 주도하리라는 것이다.
세상을 움직였던 사람들의 이야기,
세상을 움직이고 있는 수학 이야기
이 책은 지식을 전달하는 데에 그치지도, 집착하지도 않는다. 오히려 술술 읽히는 이야기책으로 느껴지기도 한다. 영화보다 더 영화 같은 인물들의 삶과 수학 이야기를 담았기 때문이다. 특히 재미있는 점은 10명의 인물들이 수학자라는 이름 외에도 다양한 직업을 갖고 있었다는 점이다. 라이프니츠는 물리학자, 철학자, 신학자, 외교관, 법학자, 공학자, 사서였고 배비지는 공학자였다. 튜링머신으로 유명한 앨런 튜링 또한 논리학자이자 암호학자였고 그레이스 호퍼는 해군 제독이자 프로그래머였다. 각기 다른 자리에 있었지만 이들 모두는 수학자로서 수학을 길잡이 삼아 새로운 세상을 만들어 냈다. 또 가설을 제시한 본인이 ‘별로 중요하지 않다’며 증명을 건너뛰어 버린 베른하르트 리만의 ‘리만 가설’이 지금까지도 증명되지 않아 상금이 걸려 있으며, 오히려 그 무지 때문에 오늘날 온라인 보안체계에 훌륭하게 활용되고 있다는 아이러니도 흥미를 자극한다.
물론 개념과 지식을 알차게 담아냈지만 청소년 독자들은 EDVAC이 어떤 원리로 작동하는지, 코볼 언어와 컴파일러가 무엇인지 머릿속에 굳이 억지로 집어넣으려 할 필요가 없다. 이 책에 등장하는 인물들에 얽힌 ‘이야기’에 몰입하다 보면 수학은 현실과 동떨어진 학문이 아니라 누군가의 삶이었고, 지금 이 책을 읽는 나의 삶과도 밀접한 관계를 맺고 있다는 것을 자연스럽게 느끼며 한층 수학과 더 친밀해질 수 있다.
익숙하지만 낯선 수학 용어
기초 개념 다시 잡기
유치원에 입학하기 전부터 우리는 수를 접한다. 물건 값을 계산하고, 가족과 친구가 몇 명인지 세어 보면서 자연스럽게 연산을 깨우친다. 우리 삶과 수는 떼려야 뗄 수 없는 사이다. 하지만 막상 학교에 들어가 수학이라는 학문을 배우면서 우리 대부분은 수학과 사이가 멀어지고 만다. 연산, 치환, 소수, 함수, 좌표, 집합…. 문제는 풀 수 있어도 개념을 설명하려고 하면 정확한 정의를 모를 때가 많다. 많이 들어서 익숙하지만 잘 이해되지 않는 낯선 용어 때문에 수학과의 사이가 더 멀어지기도 한다. 《스마트폰에서 나온 수학 천재들》에서는 각 장 끝에 ‘틈새 수학 지식 쌓기’라는 부록을 실었다. 여기에서는 우리가 학교에서 배우고 활용하는 수학 개념을 선별해 소개한다. 그 개념과 관계 깊은 새로운 기술을 만든 수학자들의 이야기를 접한 뒤에 설명을 읽기 때문에 그동안 잘 와닿지 않던 개념이 친숙하게 다가온다.
‘방과 후 인물 탐구’ 시리즈의 4번째 권인 이 책은 친절하고 체계적이다. 앞쪽에 들어간 ‘이 책을 더 잘 읽는 방법’은 컴퓨터 역사와 수학 지식을 기르는 단계별 가이드를 제시한다. 함께 발전해 온 컴퓨터와 수학의 역사를 다룬 ‘연표’와 각 장 도입부마다 등장하는 ‘수학자 프로필’은 지식과 재미를 동시에 전달하며, 수학을 비롯한 기술을 바라보는 다채로운 시각을 기르는 데 도움을 준다.
이 책을 더 잘 읽는 방법
컴퓨터와 수학은 어떻게 함께 달려왔을까?
1. 기계도 생각할 수 있을 거야_빌헬름 라이프니츠
‘대학 그 자체’로 불렸던 지식인 | 일생일대의 꿈 | 바로 저거야, 수학 기호! | 계산기를 발명하다 | 생각의 기호와 연산법 | 원대한 꿈, 컴퓨터가 되다
[틈새 수학 지식 쌓기_연산이 뭐길래?]
2. 하드웨어의 최초 설계자_찰스 배비지
돈키호테 같은 몽상가 | 자동으로 계산하는 기계 | 문제는 어려운 연산 | 어려운 연산을 쉬운 연산으로! | 하드웨어의 청사진 | 다양한 일을 해내는 기계가 있다면 | 실패했지만 성공한 발명품
[틈새 수학 지식 쌓기_치환이 뭐길래?]
3. 세계 최초의 프로그래머_에이다 러브레이스
지나치게 낭만적인 아버지 | 수학과 과학을 가까이 | 운명의 만남 | 찰스 배비지를 넘어서다 | 최초의 프로그램 | 소프트웨어의 전성시대
[틈새 수학 지식 쌓기_수가 뭐길래?]
4. 논리도 수식으로 만들자_조지 불
자수성가의 대표 주자 | 수학으로 유리 천장을 뚫어 버리다 | 논리를 수학으로 표현하라 | 논리 대수를 발명하다 | 아리스토텔레스의 모순율도 가능해 | 논리 대수, 삼단논법을 나타내다 | 연산 5개로 모든 논리를 표현하다...
[틈새 수학 지식 쌓기_대수가 뭐길래?]
5. 풀지 못한 가설의 주인공_베른하르트 리만
내 인생의 전부는 수학 | 최고의 수학자로 인정받다 | 소수는 몇 개나 있을까 | 소수에 대한 가설을 제시하다 | 그래서 리만 가설이 뭔데? | 컴퓨터, 리만 가설 검증 중 | 컴퓨터, 큰 소수를 찾는 중
[틈새 수학 지식 쌓기_소수가 뭐길래?]
6. 컴퓨터는 만능 기계야_앨런 튜링
신화가 된 사람 | 천재 수학자의 등장 | 풀고 싶은 문제를 만났어 | 결정문제의 답을 찾아서 | 사람을 대신해 계산하는 기계 | 튜링머신은 무엇이든 할수 있지 | 컴퓨터의 원조는 나야 나
[틈새 수학 지식 쌓기_일대일 대응이 뭐길래?]
7. 내 꿈은 발명왕_클로드 섀넌
발명왕, 디지털 문명을 설계하다 | 발명왕, 아날로그 컴퓨터를 만나다 | 전기신호를 불 대수로 바꾼다면? | 디지털의 시대를 열다 | 정보 엔트로피, 비트 개념 탄생
[틈새 수학 지식 쌓기_좌표가 뭐길래?]
8. 역사상 최고의 천재_존 폰 노이만
천재 중의 천재 | 최고의 학자로 인정받다 | “난 수학의 28퍼센트를 이해한다네” | 지금의 방식은 너무 복잡해 | 하드웨어의 구조를 바꾸자 | 노이만 구조 너머를 보다
[틈새 수학 지식 쌓기_집합이 뭐길래?]
9. 프로그래밍 언어는 내 손안에_그레이스 호퍼
여성, 수학자. 프로그래머, 해군 제독 | 최초의 ‘버그’를 발견하다 | 컴퓨터 회사에서 일하다 | 너무 다양해진 프로그래밍 언어 | 컴퓨터언어 번역기, 컴파일러 탄생 | 공통의 언어를 개발하자
[틈새 수학 지식 쌓기_함수가 뭐길래?]
10. 반도체 강국의 유전자_최석정
죽기 전 남긴 걸작 | 마방진과 스도쿠, 게임을 시작하지 | 라틴방진과 직교라틴방진 | 최종 목적지는 마방진 | 조합수학의 시작은 조선에서부터 | 반도체에 활용되는 조합수학
[틈새 수학 지식 쌓기_조합이 뭐길래?]
대신 물어봐 드립니다, 작가 인터뷰
교과 연계
참고 자료
지금의 컴퓨터는 라이프니츠가 상상했던 일을 실제로 해내고 있다. 우리의 생각은 기호로 바뀌어 컴퓨터에 전달되며, 컴퓨터는 그 기호를 읽어 들여 생각한다. 즉, 연산한다. 라이프니츠가 꿈꿨던 미래는 이미 현실이 되었다. 한 점처럼 미약해 보였던 그의 성과는 컴퓨터 탄생의 출발점이었다.
_기계도 생각할 수 있을 거야(빌헬름 라이프니츠), 26쪽
해석학회를 통해 배비지는 독자적인 활동을 시작했다. 컴퓨터의 하드웨어를 구상하는 계기가 된 사건도 이곳에서 일어났다. 그 사건 이후로 배비지는 수학 자체보다도 ‘어떤’ 기계를 만들어 내는 데 평생을 바치게 되었다. 수학자보다는 공학자로서의 삶을 살아갔다.
배비지는 그 시대 사람들이 상상조차 못 하던 기계를 만들어 내겠다는 야망을 품었다. 사람이 일일이 입력하지 않아도 혼자서 자동으로 계산하는, 지금의 컴퓨터와 같은 기계를 꿈꾼 것이다. 거의 200년 전에 컴퓨터라니! 이룰 수 없는 꿈을 좇아가는 돈키호테 같았다.
_하드웨어의 최초 설계자(찰스 배비지), 35쪽
에이다는 해석기관을 정보처리 기계로 이해했다. 그래서 정보처리를 위한 프로그래밍에 더 주목했다. 수치뿐만 아니라 일반적인 정보를 처리할 수 있는 명령문들을 실제로 구성해 냈다. 해석기관의 원래 목표인 수치 계산에만 집중하지 않았다. 해석기관과, 해석기관을 활용하게 해주는 프로그래밍을 분리해서 보았다. 하드웨어와 소프트웨어를 구분한 것이다. 소프트웨어의 선구자라 할 만하다.
에이다를 시작으로 컴퓨터의 세계에는 소프트웨어라는 길이 열렸다. 컴퓨터를 활용할 수 있는 프로그래밍이 중요한 작업으로 떠오르기 시작했다. 기계 자체가 아닌, 기계를 활용할 수 있는 소프트웨어를 중요하게 바라보게 되었다. 인공지능 역시 소프트웨어의 결과물이다.
_세계 최초의 프로그래머(에이다 러브레이스), 60~61쪽
불의 집안은 가난했기에 먹고사는 문제에 직면해야 했다. 현실과 무관한 수학을 공부하기에는 힘든 조건이었다. 하지만 그는 환경의 장벽을 독학으로 넘어섰다. 현실을 살아 내면서 수학이라는 비현실적인 세계를 쌓아 올렸다. 수학 실력만으로 신분의 한계를 깨트렸다. 옳고 그름이 확실해 누구나 인정할 수밖에 없는 수학이었기에 가능했다. 현실과 멀어 보였던 수학이 가장 쓸모 있는 길잡이 노릇을 했다.
_논리도 수식으로 만들자(조지 불), 7-쪽
컴퓨터의 성능이 좋아지면서 리만 가설을 검증하는 속도도 빨라졌다. 더 많은 근을 더 빨리 찾아내 확인했다. 2000년 말에는 50억 개의 근을 찾아냈다. 2002년에는 1,000억 개, 2004년에는 1013개의 근을 찾았다. 근의 실수부는 모두 1/2이었다. 리만 가설을 벗어난 사례는 아직 발견되지 않았다.
리만 가설은 컴퓨터에 의한 검증에도 아직 무너지지 않았다. 찾아낸 근들은 모두 리만 가설을 만족했다. 컴퓨터에 의한 검증은 리만 가설이 옳을 거라는 심증을 굳혀 주고 있다. 하지만 결론은 여전히 내려지지 않았다. 가설을 벗어난 사례가 발견된 것도 아니지만, 논리적으로 완전하게 증명된 것도 아니다. 컴퓨터는 수학의 증명에 그렇게 관여하고 있다.
_풀지 못한 가설의 주인공(베른하르트 리만), 95쪽
튜링은 수학 문제를 풀기 위해 튜링머신을 생각해 냈다. 기계 자체가 목적은 아니었기에 개념적으로 제안했다. 하지만 수학적 개념으로 생각해 낸 기계였기에 튜링머신의 설계도는 엄밀했다. 실제 기계로 제작하기에 손색이 없을 정도였다.
튜링은 무수히 많은 튜링머신이 가능하다는 것, 하나의 튜링머신으로 모든 튜링머신의 작업을 모방할 수 있다는 것까지 증명했다. 실제로 기계를 작동해 보지도... 않고 수학적 통찰을 통해 깨달아 버렸다. 결과적으로 그의 통찰은 옳았다. 튜링머신은 지금의 컴퓨터와 원리적으로 같은 기계다. 컴퓨터가 하는 일이라면 튜링머신도 얼마든지 해낼 수 있다.
_컴퓨터는 만능 기계야(앨런 튜링), 112쪽
섀넌은 정보량의 단위를 비트bit라고 정의했다. 비트는 2진법으로 나타낸 수binary digit라는 뜻이다. 그는 또 정보량을 정보 엔트로피라고 정의했다. 정보 엔트로피는 정보의 불확실성을 의미했다. 어떤 정보인지 알기 어려우면 정보량이 더 크다는 뜻이었다. 불확실성이 높을수록 정보량은 크다. 반대로 불확실성이 낮을수록 정보량은 작다. 이 개념은 신호처리나 이동통신, 데이터 압축과 같은 방식으로 활용되고 있다.
컴퓨터와 컴퓨터를 활용한 통신은 모두 섀넌의 도움을 톡톡히 받았다. 컴퓨터의 핵심인 전기회로를 이론적으로 다룰 수 있게 되었다. 섀넌의 이론은 현대의 컴퓨터가 출현할 수 있는 중요한 계기가 되었다.
_내 꿈은 발명왕(클로드 섀넌), 132~133쪽
다양한 영역에서 활동했다지만 노이만의 정체성은 수학자였다. 수학적으로 생각하고, 수학적인 엄밀성으로 문제를 바라보고 해결하는 사람이었다. 다방면의 활동은 추상적인 수학을 구체적인 대상에 적용해 본 결과물 같은 것이었다. 그의 활동은 결국 순수수학 아니면 응용수학이었다. 과학이나 경제학, 공학이나 기술 분야를 응용수학으로 생각한 게 아닐까 싶다. 그는 살아 있는 동안 150편의 논문을 발표했다. 그중 순수수학이 60편, 물리학이 20편, 응용수학이 60편 정도였다.
_역사상 최고의 천재(존 폰 노이만), 144~145쪽
최석정의 업적은 1990년대에 이르러서 알려지기 시작했다. 기적 같은 과정을 통해 서양에 소개되면서 조합수학의 기원에 대한 역사도 수정되었다. 오일러가 아닌 최석정이 조합수학의 기원으로 인정받았다.
조합수학은 직교라틴방진을 만들어 낼 수 있는 조건과 경우의 수를 따지면서 등장했다. 두 가지의 요소가 겹치지 않고 섞일 수 있는 특별한 경우를 따진다. 즉, 조합수학은 특별한 조합의 가능성을 수학적으로 탐구한다. 그런 조건을 요구하는 여러 분야에 응용되고 있다.
반도체 칩은 조합수학이 응용되는 대표 분야다. 반도체 칩에는 수십억 개의 트랜지스터와 전자제품이 포함되어 있다. 역할은 전기신호를 처리하는 것이다. 들어오는 신호를 빼놓지 않고 수신해야 한다. 반대로 칩에서 나가는 신호를 필요한 곳에 보내 줘야 한다. 신호를 겹치지 않고 보내 줘야 빠르고 효율적으로 성능을 발휘할 수 있다. 그래서 조합수학이 반도체 칩을 제작하는 데 응용된다고 한다.
_반도체 강국의 유전자(최석정), 186~187쪽
김용관(수냐) [저]
고려대학교를 졸업했고 '성미산학교'와 '꽃피는학교'를 비롯한 여러 대안학교와 도서관 등에서 수학을 가르치고 있다. 또한 '수냐(sunya)'라는 별명으로 수학책을 낼 만큼 자타 공인받은 수학자이며, 수학 도서관인 '수냐의 수학카페'를 운영 중이다. 뿐만 아니라 어른들의 유쾌한 수학 모임인 '수다수학회'를 통해 수학을 즐겁게 향유할 수 있는 길을 꾸준히 모색하고 있다. 지은이는 어렵게만 느껴지는 수학에 대한 편견을 깨뜨리고, 수학으로 재미있게 세상을 바라보기 위해 다양한 노력과 집필 활동을 하고 있다. 지은 책으로는 《수냐의 수학카페 1: 수는 죽었다 vs 수는 영원하다》 《수냐의 수학카페 2: 계산 낙오자 3인방, 수학카페를 점령하다》 《수냐의 수학 영화관》 등이 있다.
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